110新竹高中

感謝各位老師們協助幫忙整理試題
若有錯誤，請不吝嗇指正
附件為Superconan老師整理的版本

填充題（5分*10題）
1.ABCDEFabcdef兩兩配成6對（可以AB,Aa,Ab,ab等等）
至少兩對同義（像是Aa）的方法數

2.五顆大小不同的西瓜排成一列
某人拿一個西瓜的方式如下：
前兩個必不取
之後看到比這兩個都大的西瓜就拿
求拿到最大的機率
（題目沒說有關最後都沒拿的事情，應是此與所求無關）

3.Sn=2an-1，b1=3，b_(n+1)=bn+an
求<bn>的前n項之和

4.sin(20度)=根號3*cos(40度)+sin(x度)
求x=?（0<=x<360）

5.OA向量=(3,3,1),OB向量=(2,4,0),OC向量=(3,-6,-9)
H異於原點，OA在OH上的正射影為OH
OB在OH上的正射影為2OH
OC在OH上的正射影為3OH
求OH的長度

6.P在x^2/36+y^2/32=1上,A(-2,0),B(-1,4)
求PA+PB的最小值

7.O是三角形ABC的外心
AO向量=AB向量+2AC向量
求sin角BAC

8.實係數多項式x^3+ax^2+bx+c=0
每個根的絕對值都是1，三根之和為-2
求數組(a,b,c)

9.設z為複數，Arg((z+k)/(z))=pi/6,Arg((z+2k)/(z+k))=pi/4
且k>0，求k/z

10.a1=1,a2=1/2,前兩項之積開根號為後一項
求lim n->inf an

計算題（10分*5題）
1.求g(1)+...g(2^n)
(g(n)=n的最大奇因數）

2.四面體ABCD給六邊(5,6,7,8,8,9)求體積。
（應該是AB=5,BC=6,AC=7,DB=8,DC=8,DA=9）

3.y^2=4x
兩直線互相垂直，且通過焦點
與拋物線交於A,B和C,D
求線段AB+線段CD的最小值

4.z是不等於0的複數
已知z+1/z是實數
證明z^n+1/z^n是實數，對任意整數n

5.y=x^3-5x+2
與y=mx恰有兩交點
(1)求m(6分)
(2)求兩者所圍的面積(4分)

6.
已知\(A(-2,0)\)，\(B(-1,4)\)，\(P\)點在橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1\)上，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值。
[解答]
過\(B(-1,4)\)和\(F(2,0)\)的直線交橢圓於\(P\)點
\(\overline{PA}+\overline{PF}=2a\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}+\overline{BF}=2a=12\)
\(\overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF}\)有最小值7
(我的教甄解題之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

10.
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中，\(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{2}\)，\(a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}\)，\(n \in N\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)？

設\(a_1=1\)，\(a_2=8\)且\(a_n=\sqrt{a_{n-1}\times a_{n-2}}\)，\(\forall n\ge 3\)，求此數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的第\(n\)項\(a_n\)為何？(用\(n\)表示)
(102松山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2156&page=1#pid14147)

印象中第八題是問Sin

好像記得最小值

填充9.找最小值
計算4.n為整數

計算3  兩直線通過焦點
填充8  題目無誤，109台中一中考過

想請教填充4, 計算2.3

計算第 3 題
已知拋物線\(y^2=4x\)，有兩直線\(L_1\)和\(L_2\)通過拋物線的焦點且互相垂直，若\(L_1\)與拋物線交於點\(A\)和點\(B\)，\(L_2\)與拋物線交於點\(C\)和點\(D\)，試求\(\overline{AB}+\overline{CD}\)的最小值。
[解答]
AB 和 CD 應是焦點弦，且是求 AB + CD 的最小值

設直線 AB 和 x 軸之夾角為 θ，直線 CD 和 x 軸之夾角為 π/2 + θ
由 AB = 4c / (sinθ)^2，CD = 4c / [sin(π/2 + θ)]^2 =  4c / (cosθ)^2
可求出 AB + CD 的最小值為 16

計算第 2 題
已知四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{BC}=6,\overline{AC}=7,\overline{DA}=9,\overline{DB}=\overline{DC}=8\)，試求四面體\(ABCD\)的體積。
[解答]
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=5#pid5334

感謝呆呆右老師分享題目
我將老師提供的試題與我記得的部分合併，打成檔案，題號順序是正確的。
若題目敘述有需要更正的部分，再請老師們留言告知。

計算最後一題的配分應該是第一小題6分，第二小題4分。
填充第 1 題增加舉例，當時題目應該是給這三個例子。
計算第 4 題改為 n 是整數（已確認）。