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數學二試題15.
已知一個四邊形邊長依序為\(70,90,130,110\)，該四邊形外切於一圓且內接於另一圓，若內切圓之一切點將長度為130之邊分為\(x\)與\(y\)二線段長\((x<y)\)，則\(x:y=\) 。(最簡整數比)
[解答]
不妨四邊長都縮1/10,設四邊形ABCD的內切圓半徑r,AB上的切點為E,BC上的切點為F
,CD上的切點為G,DA上的切點為H,四切點與四頂點都跟內心各自連線形成八個直角三角形,令AE=AH=a,則另外的六個線段長馬上跟著決定,
再由四邊形ABCD內接一圓對角互補可得兩組相似三角形=>a/r=r/(a-4) , (13-a)/r=r/(11-a)
=>a(a-4)=(13-a)(11-a)=>a=143/20=y ,13-a=117/20=x =>x;y=117:143=9:11
