比較三數大小

設\(a,b,c\)都是正數，並且滿足下列三個條件：
\(\displaystyle a>0,b=\frac{1}{2}(a+\frac{3}{a}),c=\frac{1}{2}(b+\frac{3}{b})\)，試排出\(a,b,c\)由小到大的順序。

想請問各位老師這一題
這是我目前的做法

但是當\(a\)介於\(\sqrt{3}\)與0之間時，我就不知道如何比較\(b\)跟\(c\)的大小了，還麻煩各位老師指點一下，謝謝！

0 ＜ a ＜ √3
b = (a + 3/a)/2 ＞ √3

ab = a^2/2 + 3/2 ＜ 3/2 + 3/2 = 3
2b - 2c = a + 3/a - b - 3/b = (a^2b + 3b - ab^2 - 3a)/(ab) = (a - b)(ab - 3)/(ab) ＞ 0
b ＞ c

謝謝鋼琴老師！