111香山高中

如題

1110613更新公告:
有關本校111學年度教師甄選初試試題：
一、高中部英文科第28題：作答C或作答D，或同時作答CD者皆給分。
二、高中部數學科第14題答案原公告C，經更正該題為送分。
以上皆於成績查詢系統完成更正。
https://www.hhjh.hc.edu.tw/nss/m ... te&static=false

11.
試問\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\)？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3　(E)4
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

13.
設\(n\)為正整數，如果二次函數\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)的圖形與\(x\)軸交於二點\( A_n \)、\( B_n \)，令線段\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( L_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}L_n= \)？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)

設\( y=8^nx^2-2^n(2^n+1)x+1 \)( \( n \in N \) )之圖形與\(x\)軸交於\( A_n \)與\( B_n \)兩點，若\( \overline{A_nB_n} \)之長為\( l_n \)，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}l_n \)之和為？
(101台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)
連結有解答

選3
3.
試問方程組\(\cases{sin^2x+cos^2y=y^2\cr sin^2y+cos^2x=x^2}\)的所有實數對解\((x,y)\)共有幾組？
(A)3　(B)4　(C)6　(D)8　(E)9
[解答]
比較不嚴謹的解法~
(sinx)² +(cosy)² =y² --------(1)
(siny)² +(cosx)² =x² --------(2)
(1)+(2)得x²+y²=2-------(3)
又令x=y代入(1)得(2)
令x=-y代入(2)得(1)
所以其解符合x=y-----(4) ,x=-y-----(5)
由(3)&(4)&(5)畫圖可知有四個交點
(註:還需說明沒有其他解存在)

選14:
已知\(a\)為整數，且\(0\le x,y,z\le 2\pi\)，試問滿足方程式\(a(cos2x+cos2y+cos2z)+2(1-a)(cosx+cosy+cosz)=9a-6\)的實數解\((x,y,z)\)共有幾組？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　(E)5
[解答]
我覺得他選項出錯了
光是當a=1時,代入原式
得cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)=3
cos(2x)=1,cos(2y)=1,cos(2z)=1
x,y,z=0°或180°
在這a=1情況下,(x,y,z)就會有8組解------(*)

想請教第8題跟第15題，謝謝
其中，第15題的(m,n)我只有解出(6,5)、(5,6)兩組解，不知第三個解是？

選8:
\(\Delta ABC\)中，若三邊長\(a,b,c\)分別是\(\angle A,\angle B,\angle C\)的對邊，且\(a,b,c\)成等差數列，則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)的值為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
是考古題
假設圓I 是△ABC的內切圓,r為內切圓半徑
D,E,F分別是圓I在BC,CA,AB的切點
令AF=AE=x,BD=BF=y,CD=CE=z
因為a.b.c成等差,所以x+z=2y------------(1)
tan(A/2)*tan(C/2)=r² /(xz) -------------(2)
又r²=△² /s²  =(x+y+z)(xyz)/ (x+y+z)² =(xyz)/ (x+y+z)
[△表示△ABC面積,s=(a+b+c)/2=x+y+z ]
代入(2)得所求=y/ (x+y+z) =y/ [y+(x+z)] =y/3y= 1/3  (by(1))

第 15 題
還有一組解 (4，4)

已知\(\displaystyle z_1=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},z_2=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)，則\(z_1^{101}+z_2^{101}=\)？
(A)\(-1\)　(B)\(-i\)　(C)1　(D)\(i\)　(E)2

若f(x)= -x^2 -2
  g(x)= abs(x) / x

在x=0 是否為反例, 故此選項為錯誤.

請教各位老師. 謝謝

若有問題可以提疑義，但疑義時間簡章沒給.....

謝謝鋼琴老師解惑！
今天更新公告，單選14題送分！
謝謝橢圓老師的例子