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111竹北高中

Superconan

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1^# 大中小發表於 2022-4-22 21:49 只看該作者

111竹北高中

如題，竹北很有效率

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111數學科試題卷公告.pdf (591.1 KB): 2022-4-22 21:49, 下載次數: 6080

111數學科答案卷公告.pdf (114.22 KB): 2022-4-22 21:49, 下載次數: 5219

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BambooLotus

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2^# 大中小發表於 2022-4-22 22:18 只看該作者

竹北一如往常的簡單
填充1.
如圖，設

ABC中，

C=90

，以AB、AC為邊向外各作正三角形

ABF和

ACG，點M是BC中點。若MF=11，MG=7，則BC的長度為　　　。
[解答]
由費馬點知BG=CF
由中線定理：CG2+BG2=2(MG2+MC2)，CF2+BF2=2(MF2+MB2)
兩式相減得BF2−CG2=2(MF2−MG2)=BC2=144

填充2.
設函數f:(0

)

R，滿足f

1−11+t

+f

t1+t

log(1+t)=f

t1+t

logt+2022 ，則f(1000)=　　　。
[解答]
分別令x=t1+t和x=tt+1
f(x)−f(x1)logx=2022，f(x1)+f(x)logx=2022，logxf(x1)+f(x)(logx)2=2022logx
f(x)(1+(logx)2)=2022+2022logx，f(x)=1+(logx)22022+2022logx

填充3.
設

a0=2

3an=

21+an−1

21，試求limn

4n(1−an)的值為　　　。
[解答]
a0=cos

6，an=cos6

2n，1−an=2sin2

122n
令x=12n，所求=limx

0x22sin2

12x=limx

0

272

12xsin

12x

2=

272

填充8.
拋物線y^2=4cx(c>0)的焦點為F，準線為L。A、B是拋物線上的兩動點，且滿足\displaystyle \angle AFB=\frac{\pi}{3}，設線段AB的中點M在L上的投影點為N，則\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}}的最大值為　　　。
[解答]
令\overline{AF}=a,\overline{BF}=b，\displaystyle \frac{\overline{MN}}{\overline{AB}}=\frac{\displaystyle\frac{d(A,L)+d(B,L)}{2}}{\overline{AB}}=\frac{a+b}{2\sqrt{a^2+b^2-ab}}
平方，\displaystyle \frac{a^2+2ab+b^2}{4a^2+4b^2-4ab}=\frac{1}{4}+\frac{3ab}{4a^2+4b^2-4ab}\le\frac{1}{4}+\frac{3ab}{8ab-4ab}=1

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2022-4-22 22:31 只看該作者

填充題第一部分
3.
長方形紙片ABCD中，\overline{AB}=6，\overline{AD}=2\sqrt{3}，若將此長方形紙片沿\overline{AC}摺起，使\Delta ADC與\Delta ABC所夾的兩面角為30^{\circ}，此時\angle BAD=\theta，則cos\theta=　　　。
類似問題https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

5.
求座標平面上|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339的區域面積為　　　。

坐標平面上，不等式 |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 所圍成之區域面積為　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2244&page=3#pid13178)

填充題第二部分
3.
設\cases{\displaystyle a_0=\frac{\sqrt{3}}{2} \cr a_n=\left(\frac{1+a_{n-1}}{2}\right)^{\frac{1}{2}}　(n\ge 1)}，試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}4^n(1-a_n)的值為　　　。

4.
設直線ax+by=c的係數可以在0,1,2,3這4個數字中選取，其中數字可重複選取，則a,b,c的值共可決定n條不同的直線，則n=　　　。

已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合\{\; -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\;中的 3 個不同元素，並且該直線與x軸正向所夾的有向角為銳角，則這樣的直線有幾條？
(103家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1860&page=3#pid9958)

10.
已知級數\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\ldots+\frac{28}{5^{10}}=\frac{p+q\times \frac{1}{5^{10}}}{r}，其中p,q,r皆為整數，且p,q,r三數兩兩互質，則p+q+r=　　　。

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Ellipse

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4^# 大中小發表於 2022-4-23 10:08 只看該作者

填五
求座標平面上|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339的區域面積為　　　。
[解答]
所求與|13x-10y|+|17x+13y|≦339所圍區域面積等價
(僅移動中心點到原點,不會改變圖形結構)
法1: (一般作法)
假設直線L1: (13x-10y)+(17x+13y)=30x+3y=339
直線L2: (13x-10y)+(17x+13y)=30x+3y= -339
直線M1: (17x+13y)-(13x-10y)=4x+23y= 339
直線M2: (17x+13y)-(13x-10y)=4x+23y= -339
所求即為L1,L2,M1,M2所圍區域面積K
假設θ為L1與M1夾角,則|cosθ|=|30*4+3*23|/[(√(30² +3²)*√(4²+23²) ] =189 /[√909*√545]
sinθ=√([1-(cosθ)² ] =678/ /[√909*√545] [註:這裡會算得很辛苦!!]
則K=(2*339/√909)*(2*339/√545)/sinθ=678

法2: (速算法)
利用座標轉換~假設X=13x-10y ,Y=17x+13y
所求改成求|X|+|Y|≦339的區域面積,假設此面積為K'
令A為以向量(13,-10),向量(17,13)為兩列的二階行列式之絕對值
則A=|13*13+10*17|=339,又K*A=K'
K*339=(1/2)*(2*339)² ,所求K=678

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satsuki931000

satsuki

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5^# 大中小發表於 2022-4-25 15:37 只看該作者

6.
若對所有\theta \in R，複數z=(a+cos\theta)+(2a-sin\theta)i的絕對值不超過2，則實數a的範圍為　　　。
[解答]
這題小弟認了場外重算好多次才算出考場更不可能了

易知 \displaystyle 5a^2+2a(cos\theta -2sin \theta)-3\leq0

整理可得\displaystyle cos\theta -2sin\theta \leq \frac{3-5a^2}{2a}

注意\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a}嚴格遞減

(1)如果 \displaystyle a\geq 0的情形，對於\displaystyle \theta \in \mathbb{R}

\displaystyle cos\theta -2sin\theta \leq \frac{3-5a^2}{2a} 恆成立
即\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a} \geq \sqrt{5} \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}

(2)討論a\leq0的情形

可得\displaystyle a \geq \frac{-1}{\sqrt{5}} 或是 \displaystyle a\leq \frac{-3}{\sqrt{5}}

綜合(1)(2) 得到\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}

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Superconan

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6^# 大中小發表於 2022-4-25 16:09 只看該作者

回復 5# satsuki931000 的帖子

這題用幾何想法比較簡單
想成(a,2a)+(cos(-t)+sin(-t))

有一個圓的圓心在y=2x上且與「圓心在原點，半徑為2的圓」內切
即可解出答案

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enlighten0626

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7^# 大中小發表於 2022-8-1 13:19 只看該作者

請教第二部分填充四

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thepiano

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8^# 大中小發表於 2022-8-1 14:04 只看該作者

回覆 7# enlighten0626 的帖子

第二部分第 4 題
設直線ax+by=c的係數可以在0,1,2,3這4個數字中選取，其中數字可重複選取，則a,b,c的值共可決定n條不同的直線，則n=　　　。
[解答]
(1) a、b、c 中恰有 2 個 0
a = c = 0，1 條
b = c = 0，1 條

(2) a、b、c 中恰有 1 個 0
a = 0，3^2 - 2 = 7 條
b = 0，7 條
c = 0，7 條

(3) a、b、c 均不為 0
3^3 - 2 = 25

加起來

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enlighten0626

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9^# 大中小發表於 2022-8-1 19:14 只看該作者

回覆 8# thepiano 的帖子

謝謝老師解惑

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anyway13

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10^# 大中小發表於 2022-8-7 22:17 只看該作者

請問填充4

版上老師好

請問第4題應該要怎麼做會比較快阿?

訂作標後發現硬解方程式感覺在繞遠路

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