110全國高中聯招

如附件
單選2:
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有幾種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
[解答]
a_10=(2/3)*(-1)^10+(1/3)*2^10=1026/3=342
請參考:108清水高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3165&page=2#pid20278

填充9:
已知\([x]\)為高斯符號，表示不超過\(x\)的最大整數。求方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{1!}\right]+\left[\frac{x}{2!}\right]+\ldots+\left[\frac{x}{10!}\right]=1001\)的整數解\(x=\)　　　。
[解答]
大陸數學坊間教材題
x=4*5!+4*4!+1*3!+1*2!+0=584

證明1:
設\(a,b,c\)分別表\(\Delta ABC\)之\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊長，\(\angle B=60^{\circ}\)，證明：\(\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)=3\)。
[解答]
b² =a² +c² -2ac*cos60度=a² +c²-ac ,a² +c²=b²+ac----------(1)
(a+b+c)[1/(a+b)+ 1/(b+c)]= 2+ c/(a+b) +a/(b+c)
=2+ (bc+c² +a²+ab)/[(a+b)(b+c)]  (將(1)代入)
=2+ (bc+b²+ac+ab)/[(a+b)(b+c)] =2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]
=2+1=3

證明2:
\(i=\sqrt{-1}\)，複數\(z\)和\(w\)滿足\(zw-2iz-iw-5=0\)，\(|\;z|\;=2\)。證明：\(|\;w-i|\;=2\)。
[解答]
zw-2iz-iw-5=0, z(w-2i)= iw+5
|z|*|w-2i| =|i |*|w-5i|   ,2|w-2i| =|w-5i| ---------(*)
在平面座標上,令w=(x,y) , 2i=(0,2) ,5i=(0,5)
(*)符合 2[x² +(y-2)² ]^0.5= [x² +(y-5)² ]^0.5
兩端平方,整理出x²+(y-1)²=4
故得證在複數平面上滿足|w-i| =2

證明3:
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。
[解答]
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+C(n,3)*x^3+C(n,4)*x^4+..........................------------(*)
令x=i代入(*),  得(1+i)^n=C(n,0)+C(n,1)*i - C(n,2) -C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(1)
令x= -i代入(*),得(1-i)^n=C(n,0)-C(n,1)*i - C(n,2) +C(n,3)*i+C(n,4)+....................------------(2)
[(1)+(2)]/ 2 得 C(n,0)-C(n,2)+C(n,4)-...........................=[(1+i)^n+(1-i)^n]/2-------------------(3)
[(1)-(2)]/ 2 得 C(n,1)-C(n,3)+C(n,5)-...........................=[(1+i)^n-(1-i)^n]/(2i)-------------------(4)
將(3)&(4)代入欲證明左式={ [ (1+i)^n+(1-i)^n ]/2 }²+{ [(1+i)^n-(1-i) ^n ]/(2i) }²
=(1+i)^n*(1-i)^n=[ 1-i² ] ^n= [1-(-1)]^n=2^n ,故得證

證明3
[解答]
\((1+x)^n=C_0^n+C_1^n x^1+C_2^n x^2+\ldots+C_n^n x^n\)
令\(x=i\)代入
\((1+i)^n=(C_0^n-C_2^n+C_4^n+\ldots)+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)i\)
則\(C_0^n-C_2^n+C_4^n+\ldots\)為\((1+i)^n\)的實部
　\(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots\)為\((1+i)^n\)的虛部
\(\displaystyle (1+i)^n=\left[\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi}{4}+i sin\frac{\pi}{4}\right)\right]^n\)
\(=\sqrt{2}^n \left[cos \frac{n\pi}{4}+i sin \frac{n\pi}{4}\right]\)
\((1+i)^n\)的實部為\(\displaystyle \sqrt{2}^n cos \frac{n\pi}{4}\)，虛部為\(\displaystyle \sqrt{2}^n sin\frac{n\pi}{4}\)

2.
甲乙丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有__種不同的傳球方法？
(A)156　(B)258　(C)342　(D)514
(103桃園高中二招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1949&page=1#pid11276)

112.4.27補充
甲、乙、丙三人練習傳球，一共傳球10次。球首先從甲手中傳出，若第10次仍傳給甲，共有　　　種不同的傳球方法。
(112武陵高中，https://math.pro/db/thread-3731-1-1.html)

4.
設矩陣\(A=\left[\matrix{-5&-4\cr 9&7}\right]\)，則\(A^{51}-A^{50}+A^3-3A^2-2A+4I_2\)為下列何者？(\(I_2=\left[\matrix{1&0\cr0&1} \right]\))
(A)\(\left[\matrix{24&16\cr-36&-24} \right]\)　(B)\(\left[\matrix{-24&-16\cr36&24} \right]\)　(C)\(O_2\)　(D)\(4I_2\)
[提示]
\(A^n=\left[\matrix{1-6n&-4n\cr 9n&1+6n}\right]\)

特徵值重根時該怎麼辦？
\(A=\left[\matrix{-1&-9\cr 1&-7}\right]\)，\(A=PDP^{-1}\)，且\(P=\left[\matrix{3&1\cr 1&0}\right]\)，求\(A^n=\)　　　(答案以\(n\)表示，\(n\in N\))？
(101松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid8184)

5.
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點，\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(103華僑高中，thepiano解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1886&page=2#pid10436)

12.
設\((\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},2,0),(-\sqrt{2},-2,0),(\sqrt{2},-2,0)\)為一正立方體的四個頂點，則下列的哪些點也為此正立方體的頂點？
(A)\((\sqrt{2},0,2)\)　(B)\((0,2,\sqrt{2})\)　(C)\((\sqrt{2},2,4)\)　(D)\(-\sqrt{2},0,-2\)
(87年大學聯考自然組，http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 8-215-07(30-41).pdf)

填充題
5.
如下圖四個相同正方形連接而成，則\(tan(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4)\)之值為　　　。

Find the value of \(10cot(cot^{-1}3+cot^{-1}7+cot^{-1}13+cot^{-1}21)\)
(1984AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

證明題
3.
證明：\((C_0^n-C_2^n+C_4^n-\ldots)^2+(C_1^n-C_3^n+C_5^n-\ldots)^2=2^n\)。

試問\(\displaystyle \sum_{k=0}^{49}(-1)^kC_{2k}^{99}\)為　　　，其中\(\displaystyle C_j^n=\frac{n!}{j!(n-j)!}\)。
(A)\(-2^{50}\)　(B)\(-2^{49}\)　(C)0　(D)\(2^{49}\)　(E)\(2^{50}\)
(1989ASHME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_29)

填1.m<-1無法滿足3^x>0
填2.考慮底數為0或1
填6.考慮z=r(cos(a)+isin(a)),則rsin(a)=1,rcos(a)+r=1.5
填7.做切線無法滿足另一條線交兩點，轉求AB兩者于C有共交點
填8.總數9!，n所產生的和為 n*(9!/n!)*(n-1)!=9! 故期望值為9*9!/9!=9

11. (D)全班最高分的同學，第一次調分所得的分數與第二次調分所得的
分數是相同的。
這選項敘述有問題？第二次調分應改成兩次調分？(呼應前面提到的經兩次調整後)

想請教單選第8題，謝謝。

如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)　(D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
可以土法煉鋼排上去
一般算路徑數的時候只用加法這邊多乘一個機率
前三行可列出
1/8  5/16 1/2
1/4  3/8   3/8
1/2  1/2   3/8
1     1/2   1/4

單選第 8 題
如圖，東西方向有四條道路，南北方向有五條道路。已知在交叉點處，往東或往北的機率相同；若只能往一個方向走時，機率則為1。從\(A\)點出發沿著道路走捷徑至\(C\)點，中途不經過\(P\)點的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{6}\)　(D)\(\displaystyle \frac{3}{8}\)
[解答]
先求過 P 的機率
經過 P 的捷徑有 10 條，分成以下三類
(1) A → Q → P，有 6 條，每條機率都是 1 / 2^5
(2) A → R → P (但不過 D)，有 3 條，每條機率都是 1 / 2^4
(3) A → D → R → P，有 1 條，機率是 1 / 2^3
所求 = 1 - (1 / 2^5 * 6 + 1 / 2^4 * 3 + 1 / 2^3) = 1/2

謝謝 cut6997 老師。
謝謝 thepiano 老師。

可以請您稍微再說明一下填充8的解題方法嗎？
我想了很久還是不太了解，謝謝。