109台中一中

繼續再努力奮鬥
回憶讓大腦奮戰
題目未照原順序
還有兩題無法了
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感謝 #stu2005131 老師的回覆
感謝 #swallow703 老師的回覆
（學校之後應該也會公告試題）
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weiye 於 109.04.20,13:44 補附上台中一中公告之試題及詳解。
另有官方公告如下：
​數學科 填充題甲 第9題，因「假設 a,b皆為正整數」，經研議後確實無法計算，故本題「不予採計分數，送分」。
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由於學校已經公告官方正式版
將記憶版手稿圖片刪除掉
若老師們可以的話
再把問題的題號改成正確題號
方便以後的老師閱讀方便～謝謝109/04/20,20:30
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含詳解第七題的最後算出來的答案有誤(過程無誤)110/02/26

第六題應該是求角度的sin值

第九題有a,b為正整數的條件

有一題是給一堆外積的外積&內積組合是7
然後問另外三個向量所圍的平行四面體體積

還少一題，
(8^x + 27^x) / (12^x +18^x) = 7/6
求 x = ?

15.
設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a+b+c=12\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為　　　。
[解答]
設 \( A=b+c-a,B=a+c-b,C=a+b-c\)，則 \(\displaystyle A+B+C=a+b+c=12,a=\frac{B+C}{2},b=\frac{A+C}{2},c=\frac{A+B}{2}\)
原式 \(\displaystyle =\frac{B+C}{2A}+\frac{2A+2C}{B}+\frac{9A+9B}{2C}=(\frac{B}{2A}+\frac{2A}{B})+(\frac{C}{2A}+\frac{9A}{2C})+(\frac{2C}{B}+\frac{9B}{2C})\)
由算幾不等式知:原式\(\displaystyle \geq 2\sqrt{\frac{B}{2A}\frac{2A}{B}}+2\sqrt{\frac{C}{2A}\frac{9A}{2C}}+2\sqrt{\frac{2C}{B}\frac{9B}{2C}}=2+3+6=11\)
等號成立時 \(A:B:C=1:2:3\)，即 \(a=5,b=4,c=3\)

111.7,4補充
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

設\(\Delta ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a+b+c=12\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}\)的最小值為　　　。
[解答]
我是這樣算～(柯西路線)
令\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=6\)
\(s-a=x\)、\(s-b=y\)、\(s-c=z\)，\(x+y+z=18-12=6\)
求\(\displaystyle =\frac{1(6-x)}{2x}+\frac{4(6-y)}{2y}+\frac{9(6-z)}{2z}\)
　\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\left(\frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\right)-(1+4+9)\right]\)
　\(\displaystyle \ge \frac{1}{2}(36-14)=11\)

By Cauchy
\(\displaystyle \left(\frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\right)(x+y+z)\ge (\sqrt{6}+\sqrt{24}+\sqrt{54})^2\)
\(\displaystyle \frac{6}{x}+\frac{24}{y}+\frac{54}{z}\ge 36\)

9.
已知直線\(L\)：\(6x-5y-28=0\)交橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\),且\(a,b\)皆為正整數)於兩點\(A\)、\(C\)，且\(B(0,b)\)為橢圓\(\Gamma\)的頂點。若\(\Delta ABC\)的重心\(G\)恰為橢圓的右焦點\(F_2(c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，則橢圓\(\Gamma\)的正焦弦長為　　　。

橢圓那題應該有誤，a,b不能同時是整數。
不然就是我理解有誤

\(L:6x-5y-28=0,\,y=\frac{6x-28}{5}\)，令橢圓與直線的兩交點為\(\left(\alpha,\frac{6 \alpha-28}{5}\right),\left(\beta,\frac{6 \beta-28}{5}\right)\)
兩交點與\((0,b)\)之重心為\((c,0)\)
　
由y座標：\(b+\frac{6 \alpha-28}{5}+\frac{6 \beta-28}{5}=0\) => \(5b+6\alpha-28+6\beta-28=0\) => \(\alpha+\beta=\frac{56-5b}{6}\) ===(*)
由x座標：\(\frac{0+\alpha+\beta}{3}=c\)  ==由(*)==> \(c=\frac{56-5b}{18}\)
所以\(c\)為有理數。又\(a,b\)為正整數，且\(a=\sqrt{b^2+c^2}\)，所以c亦為正整數。
由\(b,c\)為正整數與\(c=\frac{5b+56}{18}\)，可得\(b=4,c=2\)，所以\(a=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}\)。

　
所以正焦弦長為\(\frac{16\sqrt{5}}{5}\)。

但是\(a\)不是整數，與題目設定不合。
　
我用GGB跑了一下也是一樣的結果。
希望不是我理解錯誤。

我當下是沒印象有整數條件
不過有其他老師提供此資訊
或者等官方版釋出再確認

我印象蠻深刻的 應該是有的
因為我當下算出跟6樓一樣的結論 但因為看到要正整數解 所以覺得這答案是錯的了

確定有這條件
和 5pn3gp6 老師 算出一模一樣的結論
但湊不出長軸為正整數的條件

想請問第2題.第5題