台中一中小考題

請教各位前輩了！
請找出無法表示\(\displaystyle \frac{2^a-2^b}{2^c-2^d}\)成形式的最小正整數，其中\(a,b,c,d\)都是正整數。
謝謝各位前輩

答案是 11

若 2^a - 2^b = 11(2^c - 2^d)
2^b[2^(a-b) - 1] = 11 * 2^d[2^(c-d) - 1]
2^(b-d)[2^(a-b) - 1] = 11 * [2^(c-d) - 1]
11 * [2^(c-d) - 1]是奇數，故 b = d
且 a-b 或 c-d 均不為 1

2^(a-b) - 1 = 11 * [2^(c-d) - 1]
2^(a-b) - 1 ≡ 3 (mod 4)
11 * [2^(c-d) - 1] ≡ 3 * 3 ≡ 1 (mod 4)
不合