引用:
原帖由 ksjeng 於 2009-3-13 04:21 PM 發表 
模的題目
在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？
註( )中的數字表示下標
此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何
已知
\[x_1 +2x_2 \equiv 9 \pmod{26} ......（1）\]
\[3x_2 \equiv 16 \pmod{26} ......（2）\]
\[x_3 +2x_4 \equiv 23 \pmod{26} ......（3）\]
\[x_4 \equiv 12 \pmod{26} ......（4）\]
先找尋 \(3\) 的乘法反元素，先找尋 \(3x+26y=1\) 的任何一組整數解，
（可以利用 \(3\) 跟 \(26\) 作輾轉相除法，或是尤拉法，或是直接聯想都可以）
解得 \(3\times 9 + 26\times \left(-1\right) =1\) ，因此
\[3\times 9 \equiv 1 \pmod{26}\]
也就是找到了 \(\pmod {26}\) 的完全剩餘系統（complete residue system）中， \(3\) 的乘法反元素是 \(9\)，
在（2）與（4）中，左右同時乘上 \(9\)，可得
\[ 27 x_2 \equiv 144 \pmod{26} ⇒ x_2 \equiv 14 \pmod{26}\]
\[27 x_4 \equiv 108 \pmod{26} ⇒ x_4 \equiv 4 \pmod{26}\]
再帶入在（1）與（3）中，可得
\[x_1 \equiv 9 -2 x_2 \equiv -19 \equiv 7 \pmod{26}\]
且
\[x_3 \equiv 23 -2x_4 \equiv 15 \pmod{26}\]
因此，可得 \(x_1, x_2, x_3, x_4 \pmod{26}\) 分別同餘到 \(7,14,15,4\)
也就是，對應到字母 \(h, o, p, e\).
以上是利用整數論中的同餘，來解題的。
