Part B 第七題
\( (a+b+c)^{2017} \) 的任一項為 \( a^{x} b^{y} c^{z}, x+y+z=2017 \) 的形式 ，因此共有 \( C^{2019}_{2} \)個不同類項。
然而當 y 和 z 兩數是一奇數一偶數時，\( a^{x} b^{y} c^{z} \) 和 \( a^{x} (-b)^{y} (-c)^{z} \) 會互消。
而當 \( x+y+z=2017 \) ，且 y 和 z 是一奇一偶時，\((x, y ,z )\)的奇偶性為 (偶, 奇, 偶) 或(偶, 偶, 奇)；
(1) 若(x, y ,z )為 (偶, 奇, 偶) 時，可令\(x=2p, y=2q+1, z=2r\)，其中\(p,q,r\)為整數，則\(2p+(2q+1)+2r = 2017\)，即\(p+q+r = 1008\)，因此將有 \( C^{1010}_{2} \)個項會消失。
(2) 若\((x, y ,z )\)為 (偶, 偶, 奇) 時， 計算方式同(1) ，結果亦相同。
綜合上述，\( (a+b+c)^{2017} + (a-b-c)^{2017} \) 會有\( C^{2019}_{2} - 2 C^{1010}_{2} = 2037171- 1019090 = 1018081 \) 個不同項。
