103高雄中學段考試題

12.
已知\(L_1\)為平面上斜率小於0之直線，且點\(A(1,1)\)、點\(B\)皆位於\(L_1\)上，今有另一直線\(L_2\)：\(3x+2y=1\)，其與\(L_1\)之夾角的正弦值為\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{65}}\)，且\(A\)、\(B\)兩點到\(L_2\)的距離比為\(4:1\)，試求\(B\)點坐標。
(答案有兩解，解出一組給半對)

請問第12題，感覺題目條件不夠

http://web.kshs.kh.edu.tw/math/e ... 3PDF/103_1_3_2N.pdf

咦，我算出來有四個答案 \(\displaystyle (6,-9), (4,-5), (\frac{-82}{13}, \frac{123}{13}), (\frac{-44}{13}, \frac{79}{13})\) ？

對，答案有4個，請問如何計算

幫瑋岳老師補過程
先求\( L_1\)斜率，兩直線夾角的正切值為\(\displaystyle\tan\theta=\pm\frac{1}{8}\)
正的跟負的考慮往左轉和往右轉算起來答案都是同樣兩個
\(L_1\)斜率為\(\displaystyle\frac{\displaystyle -\frac{3}{2}+\frac{1}{8}}{\displaystyle 1-(-\frac{3}{2})(\frac{1}{8})}=-\frac{22}{19}\)或\(\displaystyle\frac{\displaystyle-\frac{3}{2}-\frac{1}{8}}{\displaystyle 1-(-\frac{3}{2})(-\frac{1}{8})}=-2\)
把點\(A\)代入可知\(L_1:3x+2y=1\)或\(22x+19y=41\)，兩直線交點為\((5,-7)\)或\(\displaystyle(-\frac{63}{13},\frac{101}{13})\)
再用比例就可以求出答案了，一組答案有兩個