107北一女中代理

2018.07.06 筆試

想請問第7題要怎麼做? 謝謝!!

第7題
\(\Delta ABC\)中，\(D\)在\(\overline{BC}\)上，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}\)，\(\angle CAD=30^{\circ}\)、\(\angle BAD=90^{\circ}\)，則\(secB=\)　　　。
[解答]
作\(\overline{CE}\)垂直直線\(AB\)於\(E\)
令\(\overline{BD}=x,\overline{AB}=\overline{CD}=1\)
則\(\overline{AE}=\frac{1}{x},\overline{CE}=\frac{\sqrt{3}}{x}\)
\(\begin{align}
  & {{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{x} \right)}^{2}}={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\
& \sec B=x=\sqrt[3]{2} \\
\end{align}\)

採用作圖+正弦定理+解聯立(提供參考)

第7題

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-7-15 15:04 編輯 ]

請教老師第三題該怎麼做^_^ 謝謝

第三題：

\(\displaystyle f\left(x\right)=\left|4x-3a\right|+\left|5x-4a\right|=4\left|x-\frac{3a}{4}\right|+5\left|x-\frac{4a}{5}\right|\)

　　\(\displaystyle =4\left(\left|x-\frac{3a}{4}\right|+\left|x-\frac{4a}{5}\right|\right)+\left|x-\frac{4a}{5}\right|\)

　　\(\displaystyle \geq 4\left|\left(x-\frac{3a}{4}\right)-\left(x-\frac{4a}{5}\right)\right|+\left|x-\frac{4a}{5}\right|\)

　　\(\displaystyle =\frac{\left|a\right|}{5}+\left|x-\frac{4a}{5}\right|\)

可知，當 \(\displaystyle x=\frac{4a}{5}\) 時， \(f\left(x\right)\) 有最小值為 \(\displaystyle \frac{\left|a\right|}{5}\)

　　　\(\displaystyle\frac{\left|a\right|}{5}\geq a^2\Rightarrow \frac{\left|a\right|}{5} \geq \left|a\right|^2\Rightarrow \frac{-1}{5}\leq a\leq \frac{1}{5}\)

故，當 \(\displaystyle\frac{-1}{5}\leq a\leq \frac{1}{5}\) 時，\(f\left(x\right)\geq a^2\) 恆成立。

謝謝老師！^_^