100師大附中

附上題目和填充題答案

填充題
3.設△ABC為等邊三角形，D為△ABC內的點，已知\( \overline{DA}=13 \)，\( \overline{DB}=12 \)，\( \overline{DC}=5 \)，求△ABC的邊長？

設△ABC為正三角形，點P為其內部一點。若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364連結已失效)

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)


計算證明題
3.設x,y為實數，且\( z=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \)，求z的最小值

假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( |\; Q−A |\; +|\; Q−B |\; +|\; Q−C |\; \) 的最小值)
(99屏北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937)
費馬點


填充題
10.在坐標平面上，已知直線\( y=mx \)將區域\( \displaystyle \Bigg\{\; (x,y) |\; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1,x \ge 0,y \ge 0 \Bigg\}\; \)的面積二等分，則m=？
[解答]
從圓水平伸縮\( \displaystyle \frac{3}{2} \)倍變成橢圓
原本將圓平分的直線\( y=x \)則變成\( \displaystyle y=\frac{2}{3}x \)

相同概念的題目
通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \)　(2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招，https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)

請問填充第4題：我將它分五部份來算
                4R：2*16=32
                3R：20*32=640
                2R：21*64=1344
                1R：8*128=1024
                無R：256
與答案不合，請問正確的作法是如何?

填充第5題我將圖座標化去算兩歪斜線距離，結果非常慢。請問有沒有更好的方法?

另外填充第8和第9題我完全沒頭緒??可否請老師們指點一下!

這份考題感覺我很多不會，挫折感很重!

你的方法沒有錯，只是計算上的錯誤而已。^__^


第 4 題：籃中有大小相同的紅、黃、白球若干個，欲從中拿出 \(8\) 個球排成一列且此列中紅球不能相鄰，則有_____種不同的排法。

解答：

若紅球有 \(0\) 個，則黃、白色球共有 \(8\) 個，排成一直線有 \(2^8\) 種。

若紅球有 \(1\) 個，則黃、白色球共有 \(7\) 個，排成一直線有 \(2^7\) 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 \(2^7C_1^8\) 種。

若紅球有 \(2\) 個，則黃、白色球共有 \(6\) 個，排成一直線有 \(2^6\) 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 \(2^6C_2^7\) 種。

若紅球有 \(3\) 個，則黃、白色球共有 \(5\) 個，排成一直線有 \(2^5\) 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 \(2^5C_3^6\) 種。

若紅球有 \(4\) 個，則黃、白色球共有 \(4\) 個，排成一直線有 \(2^4\) 種，

　　　　　　　　　　 再將紅球插空隙，共有 \(2^4C_4^5\) 種。

（如果紅球有五顆以上～則黃白球的空隙就會不夠多了～）

所以，所求共有 \(2^8+2^7C_1^8+2^6C_2^7+2^5C_3^6+2^4C_4^5=3344\) 。

填充五我也是坐標化，但其實還蠻快的
我想會不會是你解歪斜線距離的方法不夠快?
先找一個平面E包住BH直線且平行FG直線，再算d(F,E)
這樣算還蠻快的

第 8 題～小弟目前想到的是比較暴力的作法～


第 8 題：求級數 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}\) 的和為__________。

解答：

當 \(\left|x\right|<1\) 時，

　\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) ‧‧‧‧‧‧（第一式）

將上式對 \(x\) 微分，可得

　\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ，可得

　\(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（第二式）

將上式對 \(x\) 微分，可得

　\(\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\cdots\)

將上式左右同乘上 \(x\) ，可得

　\(\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（第三式）

由「（第三式）－（第二式）＋（第一式）」，再將 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) 帶入，可得

所求＝ \(\displaystyle \frac{22}{27}\)。


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再補一個另解，原理是把 (n^2-n+1) 利用多項式的階差~~~ 二次式階差會降成一次式，一次式再用一次階差會降成常數。

填充三的連結壞了，想請問這一題怎麼寫，謝謝。

以A為原點，將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合，形成一三角形ACD)
此時，三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度，利用餘弦就可以解出邊長了

另外，想請問填充第七題，謝謝。

先坐標化
令C(0,0),B(2a,0),A(0,2b),M(a,0)
接著利用旋轉可以得出G(-√3 b,b),F(a+√3 b,√3 a+b)
利用MG=7以及MF=11即可解出a=6
BC=2a=12