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一題不等式

larson

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1^# 大中小發表於 2018-7-4 09:42 只看該作者

一題不等式

請問如何解這題不等式。
設x+y+z=0，求證：6(x3+y3+z3)2

(x2+y2+z2)3。

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laylay

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2^# 大中小發表於 2018-7-4 12:51 只看該作者

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1#
圖中 (xy+2z^2) =z^2-(x+y)z+xy=(z-x)(z-y)
=>右式-左式=2[(x-y)(y-z)(z-x)]^2>=0 故得證,等號成立於兩變數相等時

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20180704_125137.jpg (696.19 KB)

2018-7-4 12:51

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Ellipse

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3^# 大中小發表於 2018-7-4 12:57 只看該作者

引用:

原帖由 larson 於 2018-7-4 09:42 發表
如附件，請問如何解這題不等式。

這題要講x,y,z為實數,其實這個不等式最後可以轉換成三次方程式(缺二次項)的判別式!

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95509.jpg (138.3 KB)

2018-7-4 12:57

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thepiano

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4^# 大中小發表於 2018-7-4 21:51 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

x+y+z=0
若x=y=z=0，不等式成立
若x

z不全為0，則三者中至少有一正一負
不失一般性，令y

x+y+z

x2+y2+z2−xy−yz−zx

=0x3+y3+z3=3xyz 6

x3+y3+z3

2=6

3xyz

2=27

2x2y2z2

32x2+

2x2+2

x2+

−x

2+2

x2+

y+z

2−2yz

x2+y2+z2

3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-7-4 21:52 編輯 ]

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larson

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5^# 大中小發表於 2018-7-5 14:09 只看該作者

感謝各位

大家都好強
謝謝各位的回覆

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王重鈞

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6^# 大中小發表於 2018-7-5 21:51 只看該作者

回復 1#

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新建檔案 2018-07-04_1.jpg (130.61 KB)

2018-7-5 21:51

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