106鳳山高中代理

文華高中代理的那題在這份也有出現，這次平方就沒有少了

想問第10題和第20題

第 10 題
在\(\Delta ABC\)中，\(∠B=90^{\circ}\)，\(\overline{BC}=1\)，\(P\)為\(\Delta ABC\)內一點，使得\(\Delta PBC\)為直角三角形，若\(∠APB=150^{\circ}\)，\(∠PBA=\theta\)，求\(tan \theta=\)　　　。

少了 \(\overline{AB}=\sqrt{3}\) 這個條件

第 20 題
設橢圓的中心為原點\(O\)，長軸在\(x\)軸上，短軸一頂點為\(A\)，左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，線段\(\overline{OF_1},\overline{OF_2}\)的中點分別為\(B_1,B_2\)，且\(\Delta AB_1B_2\)是面積為4的直角三角形，求該橢圓的方程式為　　　。

\(\begin{align}
  & \overline{P{{F}_{1}}}=3,\overline{P{{F}_{2}}}=3-2a=2 \\
&  \\
& P=\left( x,y \right),{{F}_{1}}=\left( -c,0 \right),{{F}_{2}}=\left( c,0 \right),M=\left( 0,t \right) \\
& {{\overline{P{{F}_{1}}}}^{2}}-{{\overline{P{{F}_{2}}}}^{2}}=\left[ {{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]-\left[ {{\left( x-c \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \right]=5 \\
& x=\frac{5}{4c} \\
&  \\
& \overrightarrow{PM}\bullet \left( \overrightarrow{P{{F}_{1}}}-\overrightarrow{P{{F}_{1}}} \right)=\overrightarrow{PM}\bullet \overrightarrow{{{F}_{2}}{{F}_{1}}}=\left( -x,t-y \right)\bullet \left( -2c,0 \right)=2cx=\frac{5}{2} \\
\end{align}\)

已知數列\( \lbrace a_n \rbrace \)的前項和為\(S_n\)，若\(a_1=1\)，\(a_{2n}=n-a_n\)，\(a_{2n+1}=a_n+1\)，則\(S_{100}=\)　　　。

a(2n)+a(2n+1)=n+1
             a1=1
n= 1 ,a2+a3=2
n= 2 ,a4+a5=3
.....................
n=49,a98+a99=50

a100=50-a50 , a50=25-a25 , a25=a12+1 , a12=6-a6 , a6=3-a3 ,a3=a1+1=2
a6=1,a12=5,a25=6,a50=19,a100=31
所求=1+2+3+.....+50+31=1306

在\(\Delta ABC\)中，\(∠B=60^{\circ}\)，\(\overline{AC}=\sqrt{3}\)，則\(\overline{AB}+2\overline{BC}\)的最大值為　　　。

令a=BC,c=AB,k=c+2a
3=a^2+c^2-2ac*cos60度=>a^2+c^2-ac=3
用c=k-2a代入得7a^2-5ka+(k^2-3)=0
D=25k^2-4*7*(k^2-3)>=0 => k^2<=28 => k之最大值 =2ㄏ7
此時a=5k/14=5ㄏ7/7,c=2k/7=4ㄏ7/7

放假就是要來算數學！
以下參考答案請各家高手鞭(誤)
1-5      \(   162                   4               \sqrt{2}     1306      2\sqrt{7}   \)
6-10    \(   108                  \sqrt{14}           4           7      條件不足   \)
11-15  \(  800x+761        12              66            56            m<-2      \)
16-20  \(  2/33                 6048          8              \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4} = 1       \frac{5}{2}      \)

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2017-12-3 14:03 編輯 ]

不知道有沒有計算錯誤，以下是一些不一樣的答案
8. \( -4 \)
\( - f(7) +6 = -4 \)

11. \( 40x+41 \)
\( f(-1) =r(-1), f'(-1) = r'(-1) \)，其中  \( r(x) =ax+b \)

13. \( 72 = (C^{12}_2 -6) +12 \)
六條過原點不合，還有12條切線

15. \( -3<m<-2 \)
考古題 97大里高中、102北門高中、102松山家商、101中科實中、100楊梅高中、99台中二中、102復興高中

17. \( -2 \)
展開行列式得 \( f(x) = x^3 +\alpha x^2 +\beta x +\gamma \)
其中 \( \gamma = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
2015 & 2016 & 2017\\
2015^{2} & 2016^{2} & 2017^{2}
\end{vmatrix}=(2017-2016)(2016-2015)(2017-2015)=2 \)

18. 4
100 改成 \( n \)，\( a_{n}, b_{n} \) 有遞迴式 \( a_{n+2} =2a_{n+1}+a_n, b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \)
而得 \( a_nb_n \) 的個位數，每六項為一個循環節，故所求與 \( a_4b_4 \) 的個位數相同

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-12-7 12:16 編輯 ]

感謝tsusy前輩~~~
後來算一算發現都是自己粗心@@
提供11題另種解法
多項式\(f(x)=(x^3-x+1)^{20}\)除以\((x+1)^2\)的餘式為　　　。

\(  x^3-x+1 = (x+1)(x^2-x) + 1 \)
\( (x^3 - x + 1)^{20} = [(x^2 - x)(x + 1) + 1]^{20} \)
\(                           = ... + C^{20}_{18} [(x^2 - x)(x + 1)]^2 + C^{20}_{19} (x^2 - x)(x + 1) + C^{20}_{20} \)
\(                           = Q(x)(x+1)^2 + 20x^3 - 20x + 1 \)
\(                           = Q(x)(x+1)^2 + (20x-40)(x+1)^2 + 40x+41 \)