2015ARML台灣選拔賽

請益這兩題很類似的圖形
但怎麼想就是想不出相關的幾何意義
旋轉，或是構造正三角形
也有想過正弦與積化和差
但不太好做
請益大家的想法

個人賽I-1
在\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\(P \)為內部一點，滿足\( ∠PAB=16^{\circ} \)，\( ∠PBA=14^{\circ} \)。已知\( ∠BAC=64^{\circ} \)，試求：\(∠APC\)的大小。

團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。

活動網頁
http://www.tmo.com.tw/arml/?p=preliminary

團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。
[解答]
令\(\overline{PA}=1,\angle APC=x\)

\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AB}}{\sin 160{}^\circ }=\frac{1}{\sin 10{}^\circ } \\
& \overline{AB}=\frac{\sin 160{}^\circ }{\sin 10{}^\circ }=2\sin 80{}^\circ  \\
&  \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin x}=\frac{1}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
& \overline{AC}=\frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
&  \\
& \frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)}=2\sin 80{}^\circ  \\
& x=80{}^\circ  \\
\end{align}\)

另一題做法差不多，答案是104度

最後一步看出x=80的部分就真的直接用看的嗎@@?
做的過程就是覺得這邊不知還有沒有辦法用算地得知

用看的就可以了，反正 x 僅有一解嘛

再請教兩題
T-6 以找規律的方法可知隨著f(2)的值增加每兩個所求會增加1
但除了找規律歸納法之外
請教直接排組的做法！
不知道跟n進位是否有關係

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)

團體賽T-6.
已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)
[解答]
\(\begin{align}
  & xyz+x+z=y \\
& z=\frac{y-x}{1+xy} \\
& x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C\quad \left( 0\le A,B,C<\frac{\pi }{2} \right) \\
& C=B-A \\
& \frac{2}{1+{{x}^{2}}}-\frac{2}{1+{{y}^{2}}}+\frac{3}{1+{{z}^{2}}} \\
& =2{{\cos }^{2}}A-2{{\cos }^{2}}B+3{{\cos }^{2}}C \\
& =1+\cos 2A-1-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =\cos 2A-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =2\sin \left( B+A \right)\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& \le 2\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =-3{{\left( \sin C-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{10}{3} \\
\end{align}\)

已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？
[解答]
Google
許介彥教授的大作
"生成函數在計數問題的應用"，第6頁

謝謝鋼琴老師!!!!!
有想到轉換三角函數  但是到cos^2就停住了!!

該如何湊柯西的方向呢??

接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)