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團體賽T-5.
已知 x,y,z 均為非負實數，且滿足xyz+x+z=y，試求下列算式的最大值。
\displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2}
[解答]
\begin{align}
& xyz+x+z=y \\
& z=\frac{y-x}{1+xy} \\
& x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C\quad \left( 0\le A,B,C<\frac{\pi }{2} \right) \\
& C=B-A \\
& \frac{2}{1+{{x}^{2}}}-\frac{2}{1+{{y}^{2}}}+\frac{3}{1+{{z}^{2}}} \\
& =2{{\cos }^{2}}A-2{{\cos }^{2}}B+3{{\cos }^{2}}C \\
& =1+\cos 2A-1-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =\cos 2A-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =2\sin \left( B+A \right)\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& \le 2\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =-3{{\left( \sin C-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{10}{3} \\
\end{align}
