試解第 11 題。
x, y, z ∈ R，x + y + z = 0，x² + y² + z² = 6，求: (1) x 的範圍 (2) xy + yz + zx 之值 (3) x³ + y³ + z³ 之最大值及最小值。
(1)
z = -x-y 代入 x² + y² + z² = 6:
x² + y² + (x+y)² = 6
x² + y² + xy - 3 = 0
y² + xy + (x² - 3) = 0
x² - 4(x² - 3) ≥ 0
x² ≤ 4
-2 ≤ x ≤ 2
鋼琴老師提示用柯西，是否如:
[ x² + y² + (x+y)² ]*[ (-2)² + (1)² + (-1)² ] ≥ (-2x + y - x - y )² = 9x²
4 ≥ x²
-2 ≤ x ≤ 2 (兩邊"="皆成立)
(2)
xy + yz + zx = (0-6) /2 = -3
(3)
看到 x + y + z = 0，考慮 x³ + y³ + z³，難免想到:
x, y, z ∈ R，則:
x + y + z = 0 或 x = y = z ⇔ x³ + y³ + z³ = 3xyz
所以轉化為考慮 3xyz 之最大值及最小值。
看到這個型態可能會想用 x² + y² + z² = 6 配合算幾不等式求之，但 x + y + z = 0 這個條件似乎使此路不通(或許可以，只是我想不出來)。所以另謀它法:
由條件型式聯想到: x, y, z 是方程式 f(p) = p³ - 3p - k = 0 (k = xyz) 的三個實根。k 的範圍即要使 f(p) = 0 有三個實根，亦即 f(α)*f(β) ≤ 0，在此 α, β 是 f'(p) = 3p² - 3 = 0 的二個實根(即 1 與 -1)。因此:
(1-3-k)*(-1+3-k) ≤ 0
-2 ≤ k ≤ 2
-6 ≤ 3k = 3xyz = x³ + y³ + z³ ≤ 6
這個方法如果可行，則亦可用來求 x + y + z = h ≠ 0，x² + y² + z² = k 時(當然 h, k 的取值須使 x,y,z 有實數解)，x³ + y³ + z³ 之最大值及最小值:
只要多一步 x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx ) 轉化即可 (右式是常數)。
