109宜蘭高中

不知道學校會不會公布考題，先趕快回憶題目。
若題目的敘述或數據有誤，再麻煩留言告知～

最低錄取 84 分

註：學校公告的 60 分是有調整過比例的分數。
　　60 分 * (140/100) = 84 分

第三題
應該是1-100
算個位數字為8的機率

第四題
A(1,1,1)  B(4,-1,7)

第六題
直線方程式為
3x+4y+3=0

9.
若\(\displaystyle f(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}}\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^{500}\frac{1}{f(2k-1)}=\)　　　。

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872

10.
在坐標平面上，考慮二階方陣\(\displaystyle A=\frac{1}{5}\left[\matrix{4&-3 \cr 3&4} \right]\)所定義的線性變換圖形。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。假設\(P_1\)是圖形\(\displaystyle y=\frac{1}{10}x^2-10\)上的動點，試求\(\Delta P_1P_2P_3\)面積的最小可能值為　　　。
106數甲

11.
一個邊長為1單位的正四面體\(ABCD\)，有一隻螞蟻沿著此四面體的稜邊行走，已知螞蟻從\(A\)點出發，且到其它三點的機率都相同，若\(a_n\)表示行走\(n\)單位的距離後回到\(A\)點的機率，試求\(a_n=\)　　　。

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1349&page=1#pid11870
跌跌撞撞的機率，https://math.pro/db/attachment.p ... 5e&t=1592409034

請教填充第 8 題、第 12 題、計算證明第 4 題

請參考

考慮f'(t)=0，且t=f(x)
最後考慮f(x)=x1 和 f(x)=x2 的實根個數
討論
(i)   x1>x2
(ii)  x1<x2
f(x)=x1 會有三實根（二重根、一實根）
f(x)=x2 確定為一實兩虛
所以f[f'(x)]=0 有四實根

填充第8題
題目應是相異實根的個數吧?
\(f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b=0\)之兩根為\({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)
\(3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2af\left( x \right)+b=0\)之根為\(f\left( x \right)={{x}_{1}}\)或\(f\left( x \right)={{x}_{2}}\)的根
畫圖可知\(f\left( x \right)={{x}_{1}}\)有兩相異實根，\(f\left( x \right)={{x}_{2}}\)有一根
故\(3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2af\left( x \right)+b=0\)的相異實根個數為3

填充第12題
\(\begin{align}
  & \tan n\theta =\frac{C_{1}^{n}\tan \theta -C_{3}^{n}{{\tan }^{3}}\theta +C_{5}^{n}{{\tan }^{5}}\theta -\cdots }{C_{0}^{n}-C_{2}^{n}{{\tan }^{2}}\theta +C_{4}^{n}{{\tan }^{4}}\theta -\cdots } \\
& n=2k-1 \\
& \sum\limits_{j=0}^{2k-1}{\left| {{a}_{j}} \right|}=C_{0}^{2k-1}+C_{1}^{2k-1}+C_{2}^{2k-1}+C_{3}^{2k-1}+\cdots +C_{2k-1}^{2k-1}={{2}^{2k-1}} \\
\end{align}\)

113.04.25補充
There is a unique sequence of integers \(a_1, a_2, \cdots a_{2023}\) such that
\(\displaystyle tan2023x=\frac{a_1tanx+a_3 tan^3x+a_5tan^5x+\ldots+a_{2023}tan^{2023}x}{1+a_2tan^2x+a_4tan^4x+\ldots+a_{2022}tan^{2022}x}\)whenever \(\tan 2023x\) is defined. What is \(a_{2023}\)?
(A)\(-2023\)　(B)\(-2022\)　(C)\(-1\)　(D)1　(E)2023
(2023AMC12A，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_25)

已知\(\displaystyle tan10\theta=\frac{a_1\cdot tan\theta+a_3\cdot tan^3\theta+a_5\cdot tan^5\theta+a_7\cdot tan^7\theta+a_9\cdot tan^9 \theta}{a_0+a_2\cdot tan^2\theta+a_4\cdot tan^4\theta+a_6\cdot tan^6\theta+a_8\cdot tan^8\theta+a_{10}\cdot tan^{10}\theta}\)，則\(\displaystyle \sum_{k=0}^{10}|\;a_k|\;=\)　　　。
(113中山女高，https://math.pro/db/thread-3834-1-1.html)

遞迴的想法提供參考