105雄女代理

代理的簡章沒說會不會放試卷和答案，先趁有印象的時候紀錄一下。
　
不知道有沒有人有一起考這場的，可以一起來分享一下題目或者作法？
跟朋友回想了一下大概有這幾題 (但有些數據就沒記清楚了)
　
　
想問第一題。
　
　
考試期間居然自以為是的認定第二題的題目寫錯......
第二題應該是1/2

補一題

設 \(a_k\) 表示為最接近 \(\sqrt{k}\) 的整數, ex: \(a_1=1,\,a_2=1,\,a_3=2\).

試求 \(\displaystyle\sum^{2016}_{k=1}\frac{1}{a_k}\)

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再補一題

\(3^{50}-10\cdot2^{75}=k\cdot10^n\), 其中 \(n\)是整數, \(1\leq k<10\)

試求  n 及 k的整數部分

感謝兩位王老師補齊

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2016-7-18 11:43 AM 編輯 ]

第1題
小弟覺得題目有問題

第2題
應是\({{P}_{n+1}}=\alpha +\beta {{P}_{n}}\)

這樣的話，\(\alpha =\frac{2}{3},\beta =-\frac{1}{3}\)

所求\(=\frac{{{P}_{3}}\times {{P}_{2}}}{{{P}_{5}}}=\frac{\frac{13}{27}\times \frac{5}{9}}{\frac{121}{243}}=\frac{65}{121}\)

謝謝鋼琴大


第二題題目我沒有抄錯......  因為我在考場看到兩個都是\(P_{n+1}\) 也傻眼 想了一陣子

後來在考場 決定使用 \({{P}_{n+1}}=\alpha +\beta {{P}_{n}}\) 去做的
　
考完後回想了一下， 題目也沒有強調是拿取的這三球的機率是一樣的....
如果真的照原題是\({{P}_{n+1}}=\alpha +\beta {{P}_{n+1}}\) 的話 那 對所有\(n\),  \(P_n\) 都是一樣的
最後會推得\(P_n=1/2\)  所以後來才又說可能是1/2

第一題似乎真的怪怪的，等一等學校的正式版。

因為第三題有寫過，數字也很像，類題供參考用
類題：103北區第二次指考模擬考數甲 選填B

第三題

\(  \overline{\overline{Z_1} Z_2 + \overline{Z_2} Z_3 + \overline{Z_3} Z_1} =Z_1 \overline{Z_2} + Z_2 \overline{Z_3} + Z_3 \overline{Z_1} \)
令 \( a = \overline{Z_1} Z_2 + \overline{Z_2} Z_3 + \overline{Z_3} Z_1, b= Z_1 \overline{Z_2} + Z_2 \overline{Z_3} + Z_3 \overline{Z_1}  \)
則  \( a, b \)為共軛複數，因此所求 = \( Re(a) = \frac{1}{2} Re(a+b)\)。
又\( Z_1, Z_2, Z_3 \) 所組成三角形以原點為重心，因此 \( Z_1+ Z_2 + Z_3 =0 = \overline{Z_1} + \overline{Z_2} + \overline{Z_3}\)
因為  
\( 0=(Z_1+ Z_2 + Z_3 )(\overline{Z_1} + \overline{Z_2} + \overline{Z_3})= \overline{Z_1} Z_1 + \overline{Z_2} Z_2 + \overline{Z_3} Z_3 + \overline{Z_1} Z_2 + \overline{Z_2} Z_3 + \overline{Z_3} Z_1 + Z_1 \overline{Z_2} + Z_2 \overline{Z_3} + Z_3 \overline{Z_1} = |Z_1|^2 +|Z_2|^2 + |Z_3|^2 + a + b  \)
所以 \( 0= 4+5+9+a+b \Rightarrow a+b =-18 \Rightarrow Re(a)=-9 \)

設 \(a_k\) 表示為最接近 \(\sqrt{k}\) 的整數, ex: \(a_1=1,\,a_2=1,\,a_3=2\).

試求 \(\displaystyle\sum^{2016}_{k=1}\frac{1}{a_k}\)
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這題其實蠻有趣的....可惜考場上沒有想出來

設\(a_k=n\), 則 \((n-1)+0.5\,\leq\, \sqrt{k} \,\leq\,n+0.5\)

\( (n-0.5)^2\,\leq\, k \,\leq\,(n+0.5)^2 \)

\( n^2-n+0.25\,\leq\, k \,\leq\,n^2+n+0.25 \)

所以, 共有\(2n\)個\(k\), 使得 \(a_k=n\)

回過來看  \(\displaystyle\sum^{2016}_{k=1}\frac{1}{a_k}\)

會發現總共有 44組 \( 2n\cdot\frac{1}{2}\)   ,   分組完剩下的80個\(\frac{1}{a_k}\)   (\(k=1937,\ldots\,2016\)) 都是 \(\frac{1}{100}\)

最後算出來是 2x44 +0.8 = 88.8

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2016-7-19 05:54 PM 編輯 ]