105建國中學

有一題的題目是這樣，P是\(y^2=2x\)上一點，圓C:\( (x-1)^2+y^2=1 \)

過P點做圓C的兩切線，交X軸於B、C兩點，求三角形PBC面積最小值

我有用GGB作圖，最小值應該是8，求證明

2.
三角形ABC中,AB=6,BC=7,CA=8(三邊長不確定),內切圓O切邊AB於D,切邊BC於E,切邊CA於F,求三角形DEF面積

3.
\( \displaystyle \sum_{i<j}C_i^{60}C_j^{60} \)除以32的餘數為

順帶一提，原來論壇不支援上傳GGB的檔案......

把P點往原點靠近，就可以發現最小值逼近0

順便一提，GGB可以直接匯出圖檔，這樣就不用另外處理PrintScreen。
檔案→匯出→匯出圖檔

[ 本帖最後由 valkyriea 於 2016-4-21 09:32 AM 編輯 ]

P 的橫坐標應大於 2

下面式子的直線PB和直線PC，符號沒有出來

\(\begin{align}
  & P\left( x{}_{0},{{y}_{0}} \right),B\left( 0,b \right),C\left( 0,c \right),b>0>c,{{x}_{0}}>2 \\
&  \\
& :\left( {{y}_{0}}-b \right)x-{{x}_{0}}y+{{x}_{0}}b=0 \\
& :\left( {{y}_{0}}-c \right)x-{{x}_{0}}y+{{x}_{0}}c=0 \\
&  \\
& \frac{\left| {{y}_{0}}-b+{{x}_{0}}b \right|}{\sqrt{{{\left( {{y}_{0}}-b \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{2}}}}=\frac{\left| {{y}_{0}}-c+{{x}_{0}}c \right|}{\sqrt{{{\left( {{y}_{0}}-c \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{2}}}}=1 \\
& \left( {{x}_{0}}-2 \right){{b}^{2}}+2{{y}_{0}}b-{{x}_{0}}=\left( {{x}_{0}}-2 \right){{c}^{2}}+2{{y}_{0}}c-{{x}_{0}}=0 \\
\end{align}\)
b和c是\(\left( {{x}_{0}}-2 \right){{t}^{2}}+2{{y}_{0}}t-{{x}_{0}}=0\)的二根
\(\begin{align}
  & \overline{BC}=b-c=\frac{2\sqrt{{{\left( 2{{y}_{0}} \right)}^{2}}+4{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}-2 \right)}}{2\left( {{x}_{0}}-2 \right)}=\frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-2} \\
& \Delta PBC=\frac{1}{2}\times \frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-2}\times {{x}_{0}}={{x}_{0}}-2+\frac{4}{{{x}_{0}}-2}+4\ge 4+4=8 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-4-21 12:52 PM 編輯 ]

有一四面體的一條稜長是\(x\)，其餘的稜長皆為1，設此四面體的體積為\(V(x)\)，求\(V(x)\)的最大值。

附上印象中的版本，因為時間久遠有幾題忘了，還請記得的老師補充！
計算第二題，有高手會用GGB作圖嗎？  中間那個小圓不知道怎麼畫只好徒手繪圖XD

110.5.10補充
\(\displaystyle \sum_{0\le i <j\le 60}C_i^{60}\cdot C_j^{60}\)被31除的餘數。
(108高中數學能力競賽嘉義區筆試二試題)

有試著畫出來，如下連結
h ttps://www.geogebra.org/o/Mqt7bgFc　連結已失效

利用O1與AB之外公切圓圓心軌跡為拋物線
O2同理
即可找到O3之圓心。

在相鄰兩正角形垂直時,Max=1/8

方法數=1--12取4數不相鄰   -     1--12取4數不相鄰且1,12皆有取
           =C(9,4)-C(7,2)=105
故機率=105/C(12,4)=7/33