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2017APMO初選考試

chupapa

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1^# 大中小發表於 2020-11-10 14:17 只看該作者

2017APMO初選考試

設三個不同的質數a

c滿足：
a

(3b−c)

(a−c)

(2a−7b)

80
試問：abc=　　　

想請問老師們這題如何做

附件

2017APMO初選考試(sol).pdf (97.74 KB): 2020-11-11 09:43, 下載次數: 5465

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tsusy

寸絲

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2^# 大中小發表於 2020-11-11 08:59 只看該作者

印象中是某年 APMO 初選，建議補上年份，方便後人查閱

設 c

a，則 0

c−a

c，又 b

c−a，故 b

c
因此 c 是三質數之中最大者，

而 −2c

−2a

7b−2a

7c，又 c

7b−2a，故 7b−2a=−c

5c 或 6c
令 7b−2a=kc，其中 −1

6 且 k

Z

b

a−c

k(a−c)
而 k(a−c)=(k+2)a−7b，又 a

c 為相異質數，故 b

k+2

a

3b−c

k(3b−c)
而 k(3b−c)=2a+(3k−7)b，又 a

c 為相異質數，故 a

3k−7

把所有的 k=−1

6 皆代入，即可找出 c

a 條件下的所有解。
但題意有給 20

80，可利用此條件快速判斷

b

k+2、 −1

6、b 為質數，可得 b=2

7
因此 kc=7b−2a

2
僅需檢查 k=−1

2，可得 k=0 時，(a

)=(7

41)

至於 c

a 的情況，方法相同，此類情況無解，細節您可以再試試

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chupapa

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3^# 大中小發表於 2020-11-11 09:38 只看該作者

回復 2# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師，學到很多

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