99鳳新高中

試題及答案請見附件。

以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 79分
100,86,82,80,79

其他
70~76分 6人
60~69分 5人
50~59分 8人
40~49分 15人
30~39分 14人
20~29分 16人
10~19分 18人
0~ 9分 25人

共計112人

1.設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4}，(n \in N,n \ge 2) } \)，求\( a_n= \)？(以n表示)


2.求\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？及當時的x值？

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，96彰師附工，97文華高中，99萬芳高中都考過這題
https://math.pro/db/thread-969-1-1.html


5.若a,b,c為△ABC的三邊長，且\( \displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \)，求證：\( \displaystyle \sqrt{s-a}+\sqrt{s-b}+\sqrt{s-c} \le \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}} \)

a,b,c為△ABC的三邊長，試證明\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)

(1996APMO，http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1996.html
97中二中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807　連結已失效
99新竹實驗中學 都考過這題)


7.
解\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
[解答]
\( \displaystyle \left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)=x-1 \)
\( \displaystyle \left( x \right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)=x-1 \)
\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x} \)
\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
兩式相加得到\( \displaystyle 2 \sqrt{x-\frac{1}{x}}=(x-\frac{1}{x})+1 \)
\( \displaystyle 4 \left( x-\frac{1}{x} \right)=\left( x-\frac{1}{x} \right)^2+2 \left( x-\frac{1}{x} \right)+1 \)
\( \displaystyle \left( x-\frac{1}{x} \right)^2-2 \left(x-\frac{1}{x} \right)+1=0 \)
\( \displaystyle \left( x-\frac{1}{x}-1 \right)^2=0 \)
\( \displaystyle x-\frac{1}{x}-1=0 \)
\( x^2-x-1=0 \)
\( \displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

112.8.21補充出處
Find all real numbers \(x\) such that \(\displaystyle x=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{1/2}+\left(1-\frac{1}{x}\right)^{1/2}\)
(1998加拿大數學奧林匹亞，https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1998.pdf)

其他類似問題請一併準備
解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
(初中數學競賽教程P58)

解方程式\( \displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{2x}}+\sqrt{2x-\frac{1}{2x}}=2x \)
(94台北縣高中聯招)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36653
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804

解方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}=x \)
(建中通訊解題第55期)

111.7.1補充
若\(a\)是\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x\)的解，則\(a=\)　　　。
(101桃園農工，https://math.pro/db/thread-1379-1-6.html)

8.若\( \cases{ax+by=3 \cr ax^2+by^2=7 \cr ax^3+by^3=16 \cr ax^4+by^4=42} \)，求\( ax^5+by^5= \)？
更多類似題目請見　https://math.pro/db/thread-799-1-2.html

想請問第4題

第 4 題

若 \(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right) = \tan x^\circ\)，求最小的正整數 \(x=\)？


解答：

\(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right)\)


\(\displaystyle= \frac{\left(4\cos^3 9^\circ-3\cos9^\circ\right)\left(4\cos^3 27^\circ - 3\cos 27^\circ\right)}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\frac{\cos27^\circ \cos81^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\frac{\cos27^\circ \sin9^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\tan9^\circ.\)

這個一定要讚十次~~~~~
打破腦袋也想不出來
又多學一招

謝謝，第五題除了琴生不等式外，是否有其它解法，因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎？)

琴生不等式　→　就是凹（或凸）函數的特性。

可以查詢關鍵字：Jensen's inequality

至於另解嘛～～我也來想看看。＝＝

Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996
點題號跳到討論的文章

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1576&start=0
M9331707大的科西

謝謝大家，已用琴生不等式完成！