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99鳳新高中

bugmens

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1^# 大中小發表於 2010-6-23 06:44 只看該作者

99鳳新高中

試題及答案請見附件。

以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 79分
100,86,82,80,79

其他
70~76分 6人
60~69分 5人
50~59分 8人
40~49分 15人
30~39分 14人
20~29分 16人
10~19分 18人
0~ 9分 25人

共計112人

附件

99鳳新高中.rar (169.95 KB): 2010-6-23 06:44, 下載次數: 13794

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2010-6-23 06:45 只看該作者

1.設數列

an

遞迴定義式為

a1=1an=5an−13an−1+4，(n

N

n

2)，求an=？(以n表示)

2.求f(x)=

x4−3x2+4+

x4−3x2−8x+20 的最小值？及當時的x值？

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，96彰師附工，97文華高中，99萬芳高中都考過這題
https://math.pro/db/thread-969-1-1.html

5.若a,b,c為△ABC的三邊長，且s=2a+b+c，求證：

s−a+

s−b+

s−c

2

a+

b+

c

a,b,c為△ABC的三邊長，試證明

a+b−c+

a−b+c+

−a+b+c

a+

b+

c

(1996APMO，http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1996.html
97中二中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807　連結已失效
99新竹實驗中學都考過這題)

7.
解x=

x−x1+

1−x1
[解答]

x−x1+

1−x1

x−x1−

1−x1

=x−1

x

x−x1−

1−x1

=x−1

x−x1−

1−x1=xx−1

x−x1+

1−x1=x
兩式相加得到2

x−x1=(x−x1)+1
4

x−x1

=

x−x1

2+2

x−x1

+1

x−x1

2−2

x−x1

+1=0

x−x1−1

2=0
x−x1−1=0
x2−x−1=0
x=21

5

112.8.21補充出處
Find all real numbers x such that x=

x−x1

1

2+

1−x1

1

2
(1998加拿大數學奧林匹亞，https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1998.pdf)

其他類似問題請一併準備
解方程式

x−x1+

1−x1=x
(初中數學競賽教程P58)

解方程式

1−12x+

2x−12x=2x
(94台北縣高中聯招)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36653
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804

解方程式

x+x1+1+

x+x1=x
(建中通訊解題第55期)

111.7.1補充
若a是

1−x1+

x−x1=x 的解，則a=　　　。
(101桃園農工，https://math.pro/db/thread-1379-1-6.html)

8.若

ax+by=3ax2+by2=7ax3+by3=16ax4+by4=42，求ax5+by5=？
更多類似題目請見　https://math.pro/db/thread-799-1-2.html

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rudin

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3^# 大中小發表於 2010-6-23 14:19 只看該作者

想請問第4題

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2010-6-23 17:09 只看該作者

第 4 題

若

4cos29

−3

4cos227

−3

=tanx

，求最小的正整數 x=？

解答：

4cos29

−3

4cos227

−3

=cos9

cos27

4cos39

−3cos9

4cos327

−3cos27

=cos9

cos27

cos81

=cos27

sin9

cos9

cos27

=tan9

多喝水。

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老王

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5^# 大中小發表於 2010-6-23 19:48 只看該作者

引用:

原帖由 weiye 於 2010-6-23 05:09 PM 發表
第 4 題

若 4cos29−34cos227−3=tanx ，求最小的正整數 x=？

解答：

...

這個一定要讚十次~~~~~
打破腦袋也想不出來
又多學一招

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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rudin

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6^# 大中小發表於 2010-6-23 20:25 只看該作者

謝謝，第五題除了琴生不等式外，是否有其它解法，因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎？)

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weiye

瑋岳

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7^# 大中小發表於 2010-6-23 21:09 只看該作者

引用:

原帖由 rudin 於 2010-6-23 08:25 PM 發表
謝謝，第五題除了琴生不等式外，是否有其它解法，因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎？)

琴生不等式　→　就是凹（或凸）函數的特性。

可以查詢關鍵字：Jensen's inequality

至於另解嘛～～我也來想看看。＝＝

多喝水。

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bugmens

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8^# 大中小發表於 2010-6-23 21:11 只看該作者

回復 6# rudin 的帖子

Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996
點題號跳到討論的文章

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八神庵

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9^# 大中小發表於 2010-6-24 00:13 只看該作者

引用:

原帖由 bugmens 於 2010-6-23 09:11 PM 發表
Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996
點題號跳到討論的文章

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1576&start=0
M9331707大的科西

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rudin

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10^# 大中小發表於 2010-6-24 12:45 只看該作者

謝謝大家，已用琴生不等式完成！

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