證明不等式

設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，求證\(\displaystyle \frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\ge \frac{27}{4}\)

請問第一行怎麼知道要加上 81a(1+b)/16 呢？或是請教本題其他證法？感恩

取\(a=b=c=1\)，似乎不等式就不成立了

這題應該有 a + b + c = 1 的條件。


Q: 怎麼知道要加上 81a(1+b)/16 (與其它類似項) 呢？

A: 首先注意到原不等式在 a = b = c = 1/3 時取等號。現試圖用算幾不等式證明之，所用的式子也應在此條件下可取得等號，才有望成功。

例如: 針對1/a(1+b) 項，想用 a(1+b) 項搭配以用算幾不等式化簡。把 a = b = 1/3 代入兩項，分別得 9/4 與 4/9; 故再把後項配以係數 81/16，才可達到上述要求。若逕用 1/a(1+b) 與 a(1+b)，則因等號不能成立，所得到的是一個更小的下界。


Q: 本題其他證法？

A: 用柯西不等式: 原式搭配以 [ a(1+b) + b(1+c) + c(1+a) ] 即可。

若\(a+b+c=1\),用廣義科西就很簡單了
\( \displaystyle \left[\frac{1}{a}\left( \frac{1}{1+b}\right)+\frac{1}{b}\left( \frac{1}{1+c}\right)+\frac{1}{c}\left( \frac{1}{1+a}\right) \right] \left[(1+b)+(1+c)+(1+a) \right] \left[ a+b+c \right] \ge (1+1+1)^3\)
\( \displaystyle \left[ \frac{1}{a}\left( \frac{1}{1+b}\right)+\frac{1}{b}\left( \frac{1}{1+c}\right)+\frac{1}{c}\left( \frac{1}{1+a}\right) \right] \ge \frac{27}{4} \)

感恩以上兩位的說明