103台南一中數理暨語文資優班

老師們好，
想請教一下附件中台南一中數資班103年初試2題和複試3題，
煩請老師們指點，謝謝。


http://study.tnfsh.tn.edu.tw/fil ... 27-1.php?Lang=zh-tw

複選第一階段15.
設f(x)為實係數二次多項式，若f(x)=0有一根為2且f(f(x))=0恰有一實根為4，求f(0)=？
(A)2　(B)4　(C)6　(D)8　(E)10


複選第一階段16.
一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分，面積分別為R1、R2、R3、R4，且R1R2R3R4，若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3，求R1−R2−R3+R4=？
(A)40　(B)44　(C)48　(D)52　(E)56

圓O中兩條互相垂直的弦將圓O分成四部分：S1、S2、S3、S4。若AB和CD的弦心距分別為3和5，則(S1+S3)−(S2+S4)=　　　。
(109建功高中國中部，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)


複選第二階段-填充題3.
如圖，有一長方形ABCD，AD上有兩點G、H且AG:GH:HD=3:5:7，BC上有兩點E、F且BE:EF:FC=1:1:1，AF與BG交於I、AE與BG交於J、AE與BH交於K、AF與BH交於L，若AB=936、BC=300，則四邊形IJKL的面積為何？



複選第二階段-計算證明題2.
試求1−21+31−41+51−61++157−158+159−16013160+13259+13358++14348+14447+14546=？


複選第二階段-計算證明題4.
如圖，AC=BC，CD⊥AB於D，DE⊥BC於E，F為\overline{DE}的中點，\overline{AE}交\overline{CF}於H求證：(1)\Delta ABE \sim \Delta CDF　(2)\overline{CF}⊥\overline{AE}

第二部份第 2 題
分子部份
\begin{align}   & 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{57}-\frac{1}{58}+\frac{1}{59}-\frac{1}{60} \\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{57}+\frac{1}{58}+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}-2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{58}+\frac{1}{60} \right) \\ & =\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+\cdots +\frac{1}{59}+\frac{1}{60} \\ & =\frac{91}{31\times 60}+\frac{91}{32\times 59}+\frac{91}{33\times 58}+\cdots +\frac{91}{45\times 46} \\ & =91\left( \frac{1}{31\times 60}+\frac{1}{32\times 59}+\frac{1}{33\times 58}+\cdots +\frac{1}{45\times 46} \right) \\ \end{align}


第二部份第 4 題
應是證明 △ABE 和 △CDF 相似

(1)
易知 △CDB 和 △DEB 相似
CD：BD = DE：BE
CD：(AB/2) = (2DF)：BE
CD：DF = AB：BE
又 ∠CDF = ∠ABE
故 △CDF 和 △ABE 相似

(2)
∠CFD = ∠AEB
∠CFE = ∠AEC
∠CFE + ∠AED = ∠AEC + ∠AED = 90 度
∠EHF = 90 度
CF 和 AE 垂直

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-6-7 08:44 PM 編輯 ]

第 16 題
一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分，面積分別為R_1、R_2、R_3、R_4，且R_1>R_2>R_3>R_4，若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3，求R_1-R_2-R_3+R_4=？
(A)40　(B)44　(C)48　(D)52　(E)56
見圖
R_1 = A + B + C + R_4
R_2 = A + R_4
R_3 = B + R_4
R_1 - R_2 - R_3 + R_4 = C = 4 * 2 * 3 * 2 = 48


第一部分
第 3 題
AG = 60，GH = 100，AH = 160
BE = EF = 100，AF = 200
利用相似，可求出
△BIF 的高 = 720，面積 = 72000
△BLF 的高 = 520，面積 = 52000
△BJE 的高 = 585，面積 = 29250
△BKE 的高 = 360，面積 = 18000
IJKL = △BIF - (△BLF + △BJE - △BKE) = 8750

非常感謝thepiano老師！！
另想請問初試第15題是否有老師可以協助一下？謝謝大家~~

數學15.pdf (134.06 KB) 答案有出入 請參考

[ 本帖最後由 tenlong1000 於 2015-6-11 01:44 PM 編輯 ]

我對這題的理解是

"恰有一實根為4"指的是指其中一個根為4。

你的答案，好像把它當成所有根都是4。

還是我理解錯了!!

但我也是覺得這題條件給的不夠。

我認為"領導係數不給定的話，會有無限多種可能"

可以考慮

f(x)=(x-2)(x-3)  或是 f(x)=(x-2)(2x-7)

都滿足條件，但f(0)不同。

[ 本帖最後由 陳盈諭 於 2015-6-12 06:42 PM 編輯 ]