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第 1 題
已知\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式\(x^3+ax+1=0\)之三根，其中\(a\)為正實數。方程式\(x^3+bx^2+cx-1=0\)之三根為\(\displaystyle \frac{\alpha}{\beta},\frac{\beta}{\gamma},\frac{\gamma}{\alpha}\)。已知\(\displaystyle \frac{|\;b|\;+|\;c|\;}{a}\)的最小值可以寫成\(m^{1/n}\)，其中\(m,n\)為正整數且\(n\le 9\)，則數對\((m,n)=\) 。
[解答]
α + β + γ = 0
αβ + βγ + γα = a
αβγ = -1
α/β + β/γ + γ/α = -b
α/γ + β/α + γ/β = c
-b + c = (α/β + γ/β) + (β/γ + α/γ) + (γ/α + β/α) = -3
(-b)c = (α/β + β/γ + γ/α)(α/γ + β/α + γ/β)
= -α^3 + 1 - 1/β^3 - 1/γ^3 - β^3 + 1 + 1 - 1/α^3 - γ^3
= -(α^3 + β^3 + γ^3) - (1/α^3 + 1/β^3 + 1/γ^3) + 3
= a^3 + 9
α^3 + β^3 + γ^3 - 3αβγ = (α + β + γ)(α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα) = 0
α^3 + β^3 + γ^3 = 3αβγ = -3
1/α^3 + 1/β^3 + 1/γ^3 - 3/(αβγ) = (1/α + 1/β + 1/γ)[(1/α)^2 + (1/β)^2 + (1/γ)^2 - 1/(αβ) - 1/(βγ) - 1/(γα)]
= (1/α + 1/β + 1/γ){(1/α + 1/β + 1/γ)^2 - 3[1/(αβ) + 1/(βγ) + 1/(γα)]}
= (-a)(-a)^2
= -a^3
1/α^3 + 1/β^3 + 1/γ^3 = -a^3 - 3
-b 和 c 方程式 t^2 + 3t + (a^3 + 9) = 0 之二根
t = [-3 ± √(4a^3 + 27)i] / 2
(|b| + |c|) / a = [2√(a^3 + 9)] / a = √(2a + 2a + 36/a^2) ≧ 3888^(1/6)
