102松山工農

如題
Enjoy It !

抱歉 今年轉戰高中 是個新手..
拜求 填充 7,8,9 三題  謝謝!

美夢成甄教甄網鋼琴老師有解7、8題，請詳見，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3052 。

填充第 9 題：
\(\displaystyle 1^2\cdot C_1^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^7+
2^2\cdot C_2^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6+
3^2\cdot C_3^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5+\ldots+
8^2\cdot C_8^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^8=\)　　　？
[解答]
想成丟擲一枚不均勻的硬幣，正面出現機率 \(\displaystyle \frac{1}{5}\)，反面出現機率 \(\displaystyle \frac{4}{5}\)

隨機變數 \(X\) 表示連續丟擲八次所得的正面次數，題目即是要求 \(\displaystyle E\left(X^2\right)\)

\(\displaystyle E(X)=np=8\times\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle Var(X)=np\left(1-p\right)=8\times\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}\)

因為 \(\displaystyle Var\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left(E\left(X\right)\right)^2\)

所以 \(\displaystyle E\left(X^2\right)=Var\left(X\right)+\left(E\left(X\right)\right)^2=\frac{96}{25}\)

請教第6題
我算得很複雜
請提供一些思緒
謝謝
(我是利用托勒密定理,算到x^3-174x-308=0, 然後就....)

請教第 5,10兩題
5是否為推移矩陣?

謝謝

想請問填充第2、3 和第10題，謝謝各位高手幫忙!

填充第 6 題：
\(\overline{AD}\)為半圓的直徑，且\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=7\)、\(\overline{CD}=11\)，則\(\overline{AD}=\)　　　？
[解答]


ps. 寫到最後也是 \(x^3-174x+308=0\) ...... 囧rz

填充第 5 題：
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若一直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為　　　公升？
[解答]
若甲乙丙三瓶中分別有 \(a,b,c\) 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 \(\displaystyle\frac{5a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}, \frac{a}{4}+\frac{b}{2}, \frac{a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}\) 公升的水，

得轉移矩陣為 \(\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{8}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{2}&0\\ \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\)

達穩定狀態時，設甲乙丙三瓶的水量分別為 \(x,y,z\)，

解方程式 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\frac{5x}{8}+\frac{y}{4}+\frac{z}{2}=x\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=y\\ x+y+z=3\end{array}\right.\)

可得 \(\displaystyle x=\frac{3}{2}, y=z=\frac{3}{4}\)

因此，達穩定狀態時，甲瓶的水量為 \(\displaystyle \frac{3}{2}\) 公升。

填充第 10 題：
滿足\(|\;x|\;+|\;y|\;+|\;x+y-1|\;=1\)的所有點\((x,y)\)在坐標平面上所形成的區域面積為　　　？
[解答]
將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。