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102北門高中

sam

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1^# 大中小發表於 2013-7-20 20:54 只看該作者

102北門高中

如題！
不好意思，初次發文，請幫忙調整檔案格式！(內含國文試題，請見諒)

註：weiye 於 102.07.20 08:59PM 已處理附件（拿掉國文科試題，僅留數學科試題）。

113.5.25補充
4.
計算級數：\(\displaystyle \frac{2}{1^3}+\frac{6}{1^3+2^3}+\frac{12}{1^3+2^3+3^3}+\ldots+\frac{n(n+1)}{1^3+2^3+\ldots+n^3}\)到第35項之值為　　　。
我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678

10.
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)、\(\overline{BC}=6\)且\(\angle A=2\angle C\)，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078

13.
金字塔模型，底面是邊長為2的正方形，四個側面是邊常為3的等腰三角形，求相鄰兩側面夾角的餘弦值為　　　。

14.
正四面體的四頂點落在兩歪斜線\(L_1\)：\(\cases{x=4+t\cr y=-3-t\cr z=0}\)，\(t\in R\)與\(L_2\)：\(\cases{x=2+s\cr y=2+s\cr z=1}\)，\(s\in R\)上，試求此正四面體的稜長為　　　。

20.
設\(A=\left[\matrix{4&2\cr -3&-1}\right]\)，求\(A^{10}=\)　　　。
我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

附件

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2013-7-20 20:59, 下載次數: 10701

102 北門高中

102北門高中word檔.zip (46.93 KB): 2013-7-21 08:03, 下載次數: 11295

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Herstein

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2^# 大中小發表於 2013-7-21 01:46 只看該作者

請教第11題，謝謝!

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weiye

瑋岳

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3^# 大中小發表於 2013-7-21 10:48 只看該作者

回復 2# Herstein 的帖子

填充第 11 題：
坐標平面上，若\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)且\(\Delta PBC\)面積為8，則\(\Delta ABC\)面積為　　　。
[解答]
\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left(\vec{PB}-\vec{PA}\right)-\vec{PA}=\frac{4}{3}\left(\vec{PC}-\vec{PA}\right)\)

\(\Rightarrow 2\vec{PA}-3\vec{PB}+4\vec{PC}=\vec{0}\)

可知 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 外部， \(B,P\) 分別在直線 \(\overleftrightarrow{AC}\) 的兩側，

且 \(\triangle PBC\mbox{面積}:\triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:3:4\)

因為 \(\triangle PBC\mbox{面積}=8\) ，所以 \(\triangle PAC\mbox{面積}=12, \triangle PAB\mbox{面積}=16\)

\(\triangle ABC\mbox{面積}=\triangle PBC\mbox{面積}+\triangle PAB\mbox{面積}-\triangle PAC\mbox{面積}=8+16-12=12.\)

多喝水。

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2013-7-21 15:30 只看該作者

填充第 15 題：
已知坐標平面上兩點\(P(7,1)\)與\(Q(19,6)\)都在拋物線上，且拋物線的準線為\(y=k\)，求\(k\)值範圍為　　　。
[解答]
令 \(A(7,1), B(19,6)\) ，則 \(\overline{AB}=13\)

令 \(A\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_1=\left|1-k\right|\)

　 \(B\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_2=\left|6-k\right|\)

因為 \(y=k\) 為拋物線的準線且 \(A,B\) 為拋物線上的點

可知 \(A,B\) 在 \(y=k\) 直線的同側，即 \(1-k\) 與 \(6-k\) 同正負號。

當 \(r_1+r_2\geq \overline{AB}\) 時，則可得拋物線的焦點坐標，反之亦然。

case i: \(1-k>0\) 且 \(6-k>0\) ，則 \(\left(1-k\right)+\left(6-k\right)\geq 13\Rightarrow k\leq -3\)