101國立陽明高中

方便請教填充4 填充8嗎?

第四題
在棋盤格街道走法中，取走捷徑的情況下，從左下角的\(A\)走到右上角的\(B\)，途中恰轉彎五次，則總走法數為　　　。
[提示]
慢慢數應該OK吧，而且題目的圖形對稱，所以先算向右的，再乘以 \( 2 \) 就可以。

第八題
兩個二次函數\(f(x)\)與\(g(x)\)，若\(g(x)=-f(100-x)\)且函數\(g(x)\)的圖形包含函數\(f(x)\)圖形的頂點。兩個函數圖形與\(x\)軸交點的\(x\)坐標按照遞增依序為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)及\(x_4\)，且\(x_3-x_2=150\)。設\(x_4-x_1=p+q\sqrt{r}\)，其中\(p\)、\(q\)及\(r\)均為正整數，且\(r\)不能被任何質數的平方整除。試求\(p-q-r=\)　　　。
[解答]
(一看就覺得是ARML的型式)
\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 對稱於 \( (50,0) \) ，開口大小相同方向相反。
不妨平移至對稱點為原點，那麼 \( x_1,x_2,x_3,x_4 \) 是兩組對稱於原點的點；
又由題意知 \( x_1,x_4 \) 、 \( x_2,x_3 \) 為對稱於原點，否則頂點不會在對方的圖形上，
所以知道 \( x_2=-75,x_3=75 \) 。
假設 \( x_1=-t,x_4=t \)
兩多項式為 \( f(x)=a(x+t)(x-75) , g(x)=-a(x+75)(x-t) \)
以 \( f(x) \) 的頂點 \( x=\frac{75-t}{2} \) 代入會有相同的函數值，(方便起見將 \( 75=k \) )
\(\displaystyle a(\frac{k-t}{2}+t)(\frac{k-t}{2}-k)=-a(\frac{k-t}{2}+k)(\frac{k-t}{2}-t) \)
\(\displaystyle (k+t)(-k-t)=-(3k-t)(k-3t) \)
\(\displaystyle k^2+2kt+t^2=3k^2-10kt+3t^2 \)
\(\displaystyle t^2-6kt+k^2=0 \)
\(\displaystyle t=3k+\sqrt{8k^2}=3k+2k\sqrt{2}=225+150\sqrt{2} \)  因為 \(\displaystyle 3k-2k\sqrt{2} < k \) 不合。
所以 \(\displaystyle x_4-x_1=2t=450+300\sqrt{2} \)

話說第六題和第七題，跟昨天學生拿參考書的題目來問的題目一樣。

1.
在矩形ABCD中，若\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=2 \sqrt{3} \)，過\( \overline{AC} \)的中點O作\( \overline{EF} \perp \overline{AC} \)交\( \overline{AD} \)於E、交\( \overline{BC} \)於F，將平面ABFE沿\( \overline{EF} \)摺起，使得平面ABFE垂直平面CDEF，求此時\( cos∠BFC= \)？

設有一張長方形的紙ABCD，已知\( \overline{AB}=8 \)，\( \overline{BC}=4 \)，通過對角線\( \overline{BD} \)的中點M且垂直於\( \overline{BD} \)的直線分別交\( \overline{AB} \)與\( \overline{CD} \)於E、F兩點，當以\( \overline{EF} \)為折線把紙ABCD折起來，使得平面AEFD垂直於平面EBCF，此時若\( ∠CFD=\theta \)，\( 0<\theta<\pi \)，則\( cos \theta= \)？
(100學年度北區第二次模擬考數甲，http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066

5.
由邊長為1的正三角形堆疊n層，試問邊長為6時(即\( a_6 \) )，所有大大小小之平行四邊形總數為

102.3.28補充
有多少個平行四邊形？
http://books.google.com.tw/books ... e&q&f=false

102.4.23補充
The sides of an equilateral triangle ABC are divided into n equal parts ( \( n \ge 2 \) ). For each point on a side, we draw the lines parallel to other sides of the triangle ABC, e.g. for \( n=3 \) we have the following diagram:

For each \( n \ge 2 \) find the number of existing parallelograms.
(Canada National Olympiad 1991，https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1991.pdf)

110.5.3補充
設\(\overline{AB}\)為圓\(x^2+y^2=37\)的一弦，若點\(P(1,2)\)在\(\overline{AB}\)上，且為\(\overline{AB}\)的三等分點之一，試求直線\(AB\)的方程式　　　。
(110彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759)

想請教填充第2,3,6題,謝謝

給點想法，

填充 2. 畫折線圖，沒意外，斜率就是 \( 1, 3 \) 跳來跳去而已
眼花了...懶憜不動筆...結果是斜率看錯了是 \( 1, -1 \) 才對

填充 3. 廣義柯西不等式，湊一下

填充 6. 分子是排同計算錯排，分母也是排容很像錯排

謝謝tsusy老師的提示,填充 2. 畫折線圖，斜率就是 1與-1  跳來跳去
想再請教填充第5,6題,謝謝

填充第6題還是搞不懂,想再請教一下,謝謝

甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲又沒有抽中舞伴的機率為何　　　。
[解答]
分子=乙丙丁戊等4人錯排=4!-4x3!+6x2!-4x1!+0!=9
分母要分2種情形:
沒有甲,即=分子=9
有甲及另外3人-->C(4,3)
此時再分2種情況:
1)甲的舞伴就是沒有抽籤中的那個男生的舞伴:此時就是3人錯排=3!-3x2!+3x1!-0!=2
2)甲的舞伴是中籤那3個男生原先任1人的舞伴C(3,1),剩下那3個男生,去選舞伴,但有2人不可以
和第1輪的舞伴一樣3!-2x2!+1!  所以 C(3,1)x(3!-2x2!+1!)=9
共有2+9=11
所以C(4,3)x11=44
即分母=9+44=53
機率=9/53

填充 6.
甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲又沒有抽中舞伴的機率為何　　　。
[解答]
提供另外一個計算分母的方法，

把空氣當作第五位舞伴，那麼可分成兩種情形 (1)甲仍然和空氣跳舞 (2) 甲不和空氣跳舞

(1) 之情況即乙丙丁戊 4人錯排，同子為 9

(2) 之情況即 5 人錯排 \( 5! - 5\cdot 4!+10\cdot 3!-10\cdot 2!\cdot 5-1 =44 \)

填充6
甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲又沒有 抽中舞伴的機率為何[u]　　　[/u]。
[解答]
分母部分就是 \( 5 \) 個人中有 \( 4 \) 個限制的錯排，
\( 5!-4 \cdot 4!+6 \cdot 3!-4 \cdot 2!+1 \cdot 1!=120-96+36-8+1=53 \)