101木柵高工

今天剛放出來的題目, 大家參考囉

101.6.27版主補充
將題目重新打字，方便網友能用google搜尋到題目

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-27 06:27 AM 編輯 ]

可以請教一下填充3,4,5,7,9
我只對5題~~(沒問的5題~~)
~~不敢回想~~就當捐建校基金了~~好痛~~

第3題 我算超多遍 外加GeoGebra畫圖 長軸長為2 不知到哪裡出了問題
這是我的計算過程

\(z=\frac{1}{2}(1-x-y)\) 帶入\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\) 整理後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}+2x+2y-1=0\)
分別對x、y偏微分後=0
\(\left\{\begin{matrix}
3x-y=-1
\\
-x+3y=-1
\end{matrix}\right.\)
中心點為\(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)
平移後得到
\(3x^{2}-2xy+3y^{2}-2=0\)
再算出\(\begin{bmatrix}
3 & -1
\\
-1 & 3
\end{bmatrix}\)的eigenvalues 為4和2
因為只要問長軸長 所以先不考慮順序 得到旋轉後的橢圓為
\(4x^{2}+2y^{2}-2=0\)
所以長軸長為2
可以幫我看看有哪裡算錯了嗎? 謝謝

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-6-26 03:53 PM 編輯 ]

正常的算法應該是算出長軸長

所求為AB長
平面的法向量為(1,1,2)
水平平面的法向量為(0,0,1)
\(\cos \theta  = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
所求\(\overline {AB}  = \frac{{\overline {BC} }}{{\cos \theta }} = 2 \times \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6 \)

要怎麼算\(\bar{BC}\) ?
原來的是圓錐和平面  \(\bar{AB}\)和\(\bar{BC}\)有這種直角三角形的關係嗎?
我用的方法好像常常和其他人不一樣 難怪一直考不上> <

第4題我是這樣做的
S1: 甲: 紅*2 白*1 乙:紅*1
S2: 甲:紅*3           乙:白*1
轉移矩陣為A=\(\begin{bmatrix}
\frac{5}{6} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{6} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}\)
算出eigenvalues是1和\(\frac{1}{3}\) 分別對應eigenvectors為\(\begin{bmatrix}
3\\
1
\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}\)
\(A^{n}=\begin{bmatrix}
3 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & (\frac{1}{3})^{n}
\end{bmatrix}
(-\frac{1}{4})
\begin{bmatrix}
-1 & -1\\
-1 & 3
\end{bmatrix}=-\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
-3-(\frac{1}{3})^{n} & -3+(\frac{1}{3})^{n-1}\\
-1+(\frac{1}{3})^{n} & -1-(\frac{1}{3})^{n-1}
\end{bmatrix}\)
\(A^{n}\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\frac{3+(\frac{1}{3})^{n}}{4}\\
\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{4}
\end{bmatrix}\)
\(\lim_{n \to \infty }\frac{3+(\frac{1}{3})^{n}}{4}\times \frac{2}{3}+\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{4}\times 1=\frac{3}{4}\)
好大的工程 但我只會這種方法

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-6-26 08:24 PM 編輯 ]

我終於算出第5題了
年的部分用數的應該沒問題 主要是日的部分
民國84年=西元1995年 民國101年=西元2012年 中間有1996 2000 2004 2008 2012 5個閏年
假設出生日為84年6月x日 到 101年6月x日 總共有 17*365+5=6210天 除以10餘0 除以12餘6
所以101年6月x日 是 甲辰 日 往後數13日 為 丁巳 日
x+13=25 得x=12

我想問一下第8題 應該不會很難 但是我不會
第9題 完全不知怎麼下手

[ 本帖最後由 meifang 於 2012-6-26 09:31 PM 編輯 ]

第九題
正二十面體，每面為正三角形，每個頂點跟其他五個頂點相鄰，而這五個頂點構成正五邊形。
假設稜邊長為 \( 2 \) 的正二十面體，其中一個頂點為 \( A \) ，與它相鄰的為 \( B,C,D,E,F \) ，
那麼 \( BD=2 \times BC \times \sin54^o =\sqrt{5}+1 \)
假設 \( AC \) 中點為 \( M \) ，
那麼 \( BM=DM=\sqrt{3} \)
所以
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{3+3-(6+2\sqrt{5})}{2 \times 3}=-\frac{\sqrt{5}}{3} \)

第八題和101瑞芳高工的第八題一樣
\(x^2-2x-1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(x^2-2x-1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\((x^2+\frac{1}{x^2}+2)-2(x+\frac{1}{x})-1-2=0\)
\((x+\frac{1}{x})^{2}-2(x+\frac{1}{x})-3=0\)
\(令 x+\frac{1}{x}=A\)
\(A^2-2A-3=0\)
\((A-3)(A+1)=0\)
其中 \(x+\frac{1}{x}+1=0無實根\)
所以 \(x+\frac{1}{x}-3=0\)
    \(x^2-3x+1=0\)
所以實數根的和為 3

[ 本帖最後由 agan325 於 2012-6-26 09:55 PM 編輯 ]