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103鳳新高中

Ellipse

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1^# 大中小發表於 2014-6-9 16:18 只看該作者

103鳳新高中

幫版友po的
1.有12個座位,先請12人坐下(1對1),接著再請這12人起立後坐下,
  但規定只能坐原位或隔壁座位,問這樣共有幾種排列?

2.Sigma {k=o to infinity}  [ (n+2^k)/2^(k+1)] =? (以n表示)
其中[ ]符號表示"下高斯"
  (這題答案小弟算n)

  聽說題目爆難~
  筆試成績出來了,130(含缺考)只有約2x人40分以上

103.6.11補充
以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 44分
65,55,52,50,50,48,47,47,46,45,45,44,44
(44分有2人增額錄取參加複試)

40~43分 10人
30~39分 28人
20~29分 25人
10~19分 27人
0~ 9分  20人
缺考　　 7人

共計 130 人

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-11 06:38 PM 編輯 ]

附件

103鳳新高中.pdf (123.84 KB): 2014-6-9 17:47, 下載次數: 13225

103鳳新高中初試成績.pdf (37.14 KB): 2014-6-11 18:38, 下載次數: 11599

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hua0127

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2^# 大中小發表於 2014-6-9 16:31 只看該作者

回復 1# Ellipse 的帖子

第2題幫確定(集氣)是n,
\( \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left[ \frac{n+{{2}^{k}}}{{{2}^{k+1}}} \right]}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left( \left[ \frac{n}{{{2}^{k}}} \right]-\left[ \frac{n}{{{2}^{k+1}}} \right] \right)}=\left[ n \right]=n,\forall n\in \mathbb{N}\)

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tsusy

寸絲

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3^# 大中小發表於 2014-6-9 17:22 只看該作者

回復 2# hua0127 的帖子

第 2 題. 好神的算式...看不懂

另證. 令 \( f(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right], n \in \mathbb{N} \)

設 \( p, m \in \mathbb{N}_0 \)，有以下性質

1. 若 \( \displaystyle p<2^{m}, \left[\frac{p+2^{m}+2^{k}}{2^{k+1}}\right]=\begin{cases}
\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+\left[\frac{p+2^{k}}{2^{k+1}}\right] & \mbox{, if }k<m\\
1 & \mbox{, if }k=m\\
0 & \mbox{, if }k>m
\end{cases} \)
.
2. 若 \( p<2^{m} \)，則 \( \displaystyle f(p+2^m) = f(p) + \sum_{k=0}^{m-1}\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+1=f(p) + 2^{m} \)

把 \( n \) 寫成2進制，重復使用性質 2，即得 \( f(n) = n \)。

---------------

好像看懂了，是用了 \( [x] + [x+\frac12] = [2x] \) 移項得 \( [ x + \frac12] = [2x] - [x] \)

取 \( x = \frac{n}{2^{k+1}} \) 代入上式，是這樣沒錯吧？

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-9 05:27 PM 編輯 ]

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bugmens

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4^# 大中小發表於 2014-6-9 17:25 只看該作者

1.
用3枝10公尺長的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(我的教甄準備之路　用算幾不等式解三角函數的極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077)

2.
擲一個不均勻硬幣，設出現正面的機率\( \displaystyle \frac{2}{3} \)，出現反面的機率\( \displaystyle \frac{1}{3} \)。現有一質點位在一數線上的原點，投擲此硬幣，當出現正面時，質點往正向一單位；出現反面時，質點往負向一單位，試問：持續投擲硬幣，質點能落在-1的機率？
(許介彥，跌跌撞撞的機率，https://www.sec.ntnu.edu.tw/uplo ... %A9%9F%E7%8E%87.pdf)

計算12.
設\( [x] \)表示不超過x的最大整數，\( n \in N \)，求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right] \)(以n表示)

Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO，http://www.artofproblemsolving.c ... =1&cid=16&year=1968)

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hua0127

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5^# 大中小發表於 2014-6-9 17:32 只看該作者

回復 6# tsusy 的帖子

寸絲兄你這個算式才神吧 XD
是用了 \(\displaystyle \left[ x \right]+\left[ x+\frac{1}{2} \right]=\left[ 2x \right]\) 沒錯

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tsusy

寸絲

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6^# 大中小發表於 2014-6-9 17:49 只看該作者

回復 8# hua0127 的帖子

您一行秒證，我寫了 5 行

跟您的神蹟比起來，我就像在鬼畫符一樣

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Ellipse

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7^# 大中小發表於 2014-6-9 18:54 只看該作者

先挑軟柿仔:
13.(反証法)
假設三個方程式都沒有實根,則D<0
(2b)²-4ac<0  =>b²<ca------------(1)
(2c)²-4ba<0  =>c²<ab------------(2)
(2a)²-4cb<0  =>a²<bc------------(3)
(1)+(2)+(3)得
a²+b²+c²<ab+bc+ca
<=>
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²<0 ( -><- ) contradiction~

14.之前才討論過~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-9 09:15 PM 編輯 ]