97彰化藝術高中

這是教師甄選的其中一題目而已。是跟瑋岳老師一起討論出來的。

97彰化藝術高中教師甄選
解方程式:\(\left( {x^2  - 3x - 12} \right)^3  + 6\left( {x^2  - 3x - 12} \right) = x^3  + 6x\)         答案: \(6,-2\)
解答: 令 \(\left( {x^2  - 3x - 12} \right) = t\)
\(\begin{array}{l}
\left( {x^2  - 3x - 12} \right)^3  + 6\left( {x^2  - 3x - 12} \right) = x^3  + 6x \\
  \Rightarrow t^3  + 6t = x^3  + 6x \\
  \Rightarrow \left( {t^3  - x^3 } \right) + 6\left( {t - x} \right) = 0 \\
  \Rightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t^2  + tx + x^2 } \right) + 6\left( {t - x} \right) = 0 \\
  \Rightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t^2  + tx + x^2  + 6} \right) = 0 \\
  \Rightarrow t - x = 0 \vee \left( {t^2  + tx + x^2  + 6} \right) = 0 \\
\end{array}\)

(1) 當 \(t-x=0\)
\(\begin{array}{l}
x^2  - 3x - 12 - x = 0 \\
  \Rightarrow x^2  - 4x - 12 = 0 \\
  \Rightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \\
x = 6 \vee  - 2 \\
\end{array}\)

(2) 當 \(t^2  + tx + x^2  + 6 = 0\)
\(
\begin{array}{l}
t^2  + tx + x^2  + 6 = 0 \\
  \Rightarrow \left\{ {t^2  + tx + \left( {\frac{x}{2}} \right)^2 } \right\} + \frac{3}{4}x^2  + 6 = \left( {t + \frac{x}{2}} \right)^2  + \frac{3}{4}x^2  + 6 \ge 6 \\
\end{array}
\)
所以 \(t^2  + tx + x^2  + 6 \) 恆正，因此可知 \(t^2  + tx + x^2  + 6 = 0\) 無實數解。

由以上可知，方程式的解為 \(x=6,x=-2\)

這個題目最好更改為，求出實數解

請教第9題。第15題第(1)小題。
感謝。

平面上有一橢圓，已知其焦點為\((0,0)\)和\((4,4)\)，且\(y=x+\sqrt{2}\)為此橢圓的切線。
(1)設此橢圓方程式為\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=1\)，求\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)之值。
(2)經過適當的平移及旋轉之後得方程式為\(Mx^2+Ny^2=1\)，求數對\((M,N)=\)？
(3)過\((1,0)\)作此圖形之切線，求此切線方程式？

第 15 (1) 題
94 指考數學甲

第 9 題
給定一條橢圓曲線，如何利用尺規作圖的方法找出它們的焦點？
[解答]
1. 作兩平行弦，延長其中點連線交橢圓於兩點，取此兩點之中點，即為中心
2. 以中心為圓心，適當長為半徑畫圓和橢圓交於四點，此四點形成一矩形，過中心作矩形兩邊之平行線，即為長、短軸
3. 剩下的就簡單了

版上老師好,請問以下題目
10.將「a; a; b; b; c; c; d; e」八個字全取作直線排列，其中同字不得相鄰的排列法共有
幾種？(想問的解法在附件)



ps:小第是仿照寸絲老師在297題的解法,不知道實哪裡觀念有問題?
(1)\(AAABBCCDEF\)共十個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有種。(99文華高中)
\(E_A\) : 三\(A\) 分離；\(E_B\) : 兩\(B\)相鄰；\(E_C\) : 兩\(C\)相鄰。

\(E_A\)：兩\(A\)分離
\(E_B\)：兩\(B\)分離
\(E_C\)：兩\(C\)分離
所求\(=|\; E_A |\;-|\; E_A \bigcap E_B |\;-|\; E_A \bigcap E_C |\;+|\; E_A \bigcap E_B \bigcap E_C |\;\)
　　\(=\displaystyle C_2^7 \cdot \frac{6!}{2!2!}-C_2^6 \cdot \frac{5!}{2!}-C_2^6 \cdot \frac{5!}{2!}+C_2^5 4!\)
　　\(=3720\)

第10題
計算錯誤

\(\displaystyle C^7_2 \cdot \frac{6!}{2!2!} - C^6_2 \cdot \frac{5!}{2!} - C^6_2 \cdot \frac{5!}{2!} + C^5_2 \cdot 4! \)

\( = 3780 - 900 - 900 + 240 =  2220 \)

謝謝寸絲老師!   犯了一個很蠢的錯誤!

不好意思
想請教第三題....

\(f(x)=x^3+6x\)為嚴格遞增函數
因此\(f(x)\)=\(f(x^2-3x-12)\)只會發生在\(x=x^2-3x-12\)的情形
可得\(x^2-4x-12=0\) 所以 \(x=6\) or \(x=-2\)