99桃園農工

檔案取自http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1589
感謝八神庵將數學科題目分割出來

填充題
6.求\( \displaystyle \frac{1}{2^{100}}(3^{50}-3^{49}C_2^{100}+3^{48}C_4^{100}-3^{47}C_6^{100}+...-3C_{98}^{100}+C_{100}^{100}) \)的值為？
[提示]
\( \displaystyle (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{100} \)的實部

\( \displaystyle C_0^{20}+\frac{1}{2}C_1^{20}+\frac{1}{2^2}C_2^{20}+...+\frac{1}{2^{10}}C_{20}^{20}= \) ?
(95基隆女中)

計算\( \displaystyle C_1^{2007}-C_3^{2007}+C_5^{2007}-C_7^{2007}+...+C_{2005}^{2007}-C_{2007}^{2007} \)之值？
(97高中數學能力競賽　嘉義區筆試二試題)
https://math.pro/db/thread-919-1-3.html

101.5.22補充
設\( n=1990 \)，則\( \displaystyle \frac{1}{2^n}(1-3C_2^n+3^2 C_4^n-3^3 C_6^n+...+3^{994}C_{1998}^n-3^{995}C_{1990}^n)= \)
(1990大陸高中數學聯合競賽，http://forum.nta.org.tw/examserv ... 485&postcount=5)

8.設\( a、b、c \)為非負實數，滿足\( \displaystyle 9^{\sqrt{4a+7b+5c}}-738 \times 3^{\sqrt{4a+7b+5c}}+6561=0 \)，若\( a+b+c \)的最大值為M，最小值為m，則\( (M,m)= \)？
[解答]
\( \displaystyle (3^{\sqrt{4a+7b+5c}}-9)(3^{\sqrt{4a+7b+5c}}-729)=0 \)
\( \displaystyle 3^{\sqrt{4a+7b+5c}}=3^2，3^6 \)
\( 4a+7b+5c=4，36 \)，\( a,b,c \ge 0 \)

當\( (a,b,c)=(9,0,0) \)時，\( a+b+c \)有最大值9
當\( \displaystyle (a,b,c)=(0,\frac{4}{7},0) \)時，\( a+b+c \)有最小值\( \displaystyle \frac{4}{7} \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-22 07:05 AM 編輯 ]

桃園農工的考試看起來是有分A,B卷
之前公佈的也是B卷...是選擇題
今年的B卷是填充題
關於第六題
()中的組合式可以看成(1/2)[(1+根號3*i)^100+(1-根號3*i)^100]
與bugmens大的解法是殊途同歸(是這個字嗎?很久沒用成語都忘了......)

想請教填充第4題, 謝謝

填充第 4 題：

依題意可知 \(a_{15}\) 是在此數列的前 \(35\) 項中最大的數字，然後 \(a_{36}\) 又比 \(a_{15}\) 大，

因此由 \(52\) 個數字中任選 \(36\) 個，

此 \(36\) 個數字中最大的放在 \(a_{36}\) 的位置，

第二大的放在 \(a_{15}\) 的位置，

其它 \(34\) 個數字就任意放在 \(a_1,a_2,\cdots,a_{14},a_{16},\cdots,a_{35}\) 的位置，

最後剩下還沒有被選取的 \(16\) 個數字就放在 \(a_{37},a_{38},\cdots,a_{52}\) 的位置。

所以安排的方法數有 \(C^{52}_{36}\cdot 34!\cdot 16!\)

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上列的題目中的a_15是不是a_16   題目中不是說，第一個大於a_16的是a_36，所以我覺得題意是第二大是a_16，不知我的理解有無錯誤…。

題目掃描不清，不過不管題目是寫 \(a_{15}\) 或是寫 \(a_{16}\)，

解題過程同理，答案也沒變。

請問  第 8 題

當 (a,b,c)=(9,0,0) 時，a+b+c 有最大值 9
當 (a,b,c)=(0,7/4,0) 時，a+b+c 有最小值 74

請問：(a,b,c)=(9,0,0) 以及 (a,b,c)=(0,7/4,0) 應如何求得？

第八題

令 \( 3^{\sqrt{4a+7b+5c}} =x \)，則 \( x^2 -738x+6561=0 \)

方程式解得 \( x = 729 \) 或 \( 9 \)

因此 \( 4a+7b+5c = 6 \) 或 \( 2 \)

又 a, b, c  非負，\( a+b+c \) 的極值問題，可視為線性規劃

其極其極值必發生在端點，檢驗 6 個端點，可得最大最小值