103大直高中

1.
2.矩陣\(\displaystyle\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]\)為一線性變換，試說明其在幾何上的意義
3.令\(\overrightarrow \alpha   = ({a_1},{a_2},{a_3}),\overrightarrow {\beta }  = ({b_1},{b_2},{b_3}),\overrightarrow \gamma   = ({c_1},{c_2},{c_3})\)
證明下面五個敘述為等價
(1)三向量線性獨立
(2)行列式≠0
(3)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = 0}\\
{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = 0}\\
{{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = 0}
\end{array}} \right.\)有唯一解x=y=z=0
(4)A=\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\
{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\
{{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}}
\end{array}} \right]\)有反矩陣
(5)\(\overrightarrow \delta   = x\overrightarrow \alpha   + y\overrightarrow \beta   + z\overrightarrow \gamma  \)有唯一表示法

4.有一球S：\({x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 1\)與一點P(0,3,2)，過P作此球的切線，交xy平面的點形成一拋物線，求正焦弦長

5.有一正十二面體(各面皆為正五邊形)，外接正立方體邊長為\(R\)，內接正立方體邊長為\(r\)，求\(\frac{R}{r}\)

6.有一半徑為1的圓O，及一高為1的等腰三角形ABC，圓O在三角形ABC底邊滾動，且圓與三角形兩腰分別交於D、E點，證∠DOE為定值


7.\(\angle BAC\)為一銳角，有一圓C在角的內部，分別在\(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)及圓C上取P、Q、R點，當三點位置為何，三角形PQR周長最小，證明你的想法

8.已知
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^2} = \sqrt 9  - \sqrt 8 \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^3} = \sqrt {50}  - \sqrt {49} \)
\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^4} = \sqrt {289}  - \sqrt {288} \)
試證明對於任意正整數\(n\)，皆存在正整數\(m\)使得\(\displaystyle{(\sqrt 2  - 1)^n} = \sqrt {m + 1}  - \sqrt m \)
相關問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237

9.擲一公正硬幣若干次，擲出正面得1分，擲出反面得2分
若\(\displaystyle{p_n}\)表示得到n分的機率
(1)列出\(\displaystyle{p_n}\)的遞迴關係式並說明
(2)解出\(\displaystyle{p_n}\)一般式

有第1題忘記了，請各位補上

#7
(不知怎麼了,ggb無法存成圖檔,先用.pdf表示)
如附件~
作角BAC平分線交圓O於R點(靠近A的那點)
以AB為對稱線,將R點對稱到R'
以AC為對稱線,將R點對稱到R''
連接R'R''分別交AB,AC於P,Q兩點
連接PQ,QR,RP則三角形PQR周長即為最小值

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-29 08:12 PM 編輯 ]

4.
有一球S：\( x^2+y^2+(z-1)^2=1 \)與一點\( P(0,3,2) \)，過P作此球的切線，交xy平面的點形成一拋物線，求正焦弦長。
[解答]
我借用99育成高中第7題的動畫來解釋球與xy平面相交的點為什麼是焦點，所以P點和本題意義不同。

(1)\( \overline{PD},\overline{PF} \)都是圓的切線，得到\( \overline{PD}=\overline{PF} \)
(2)\( \overline{PD} \)是圓錐上母線的其中一段，移動到上方
(3)\( \overline{PD} \)平移到\( \overline{PE} \)，得到\( \overline{PD}=\overline{PE} \)
由(1)(3)可知\( \overline{PF}=\overline{PE} \)，圖形為拋物線，F為焦點，V為頂點，L為準線


SketchUp檔下載


x軸從螢幕延伸而出，只畫出y,z軸
設切線方程式為\( z-2=m(y-3) \)，圓心\( (0,1) \)到直線的距離為1，解得\( \displaystyle m=0,\frac{3}{4} \)，頂點為\( \displaystyle V(\frac{1}{3},0) \)
焦點為\( F(0,0) \)，正焦弦長\( \displaystyle \frac{4}{3} \)



5.正十二面體
[解答]



\( \displaystyle \frac{R}{r}=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{cos54°+cos18°}{cos18°}=\frac{(4cos^318°-3cos18°)+cos18°}{cos18°}=4cos^218°-2 \)
\( \displaystyle =4(1-sin^218°)-2=2-4sin^218°=2-4(\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \)

103.10.19補充
仿幾何原本從正六面構造正十二面體
張海潮／臺灣大學數學系(退休)
https://ghresource.k12ea.gov.tw/uploads/1676605026333rssKzFWm.pdf

第 8 題
n 為奇數，(√2 - 1)^n = a√2 - b，其中 2a^2 = b^2 + 1
n 為偶數，(√2 - 1)^n = a - b√2，其中 a^2 = 2b^2 + 1
先用數學歸納法證明上式成立

然後
n 為奇數，取 m = b^2
n 為偶數，取 m = 2b^2
即可

1
f(x)=(ax+b)/(x^{2}+1)有最大值3/2,最小值 - 1/2 ，求a,b(2解)[ 本帖最後由 natureling 於 2014-4-29 10:39 PM 編輯 ]

第 1 題
y = (ax + b)/(x^2 + 1)
yx^2 - ax + (y - b) = 0
(-a)^2 - 4y(y - b) ≧ 0
4y^2 - 4by - a^2 ≦ 0
因 -1/2 ≦ y ≦ 3/2
由根與係數關係知 b = 1，a = ±√3

補充:
過R點做圓O的切線,假設分別交AB,AC於D,E兩點
則三角形PQR稱為三角形ADE的"垂足三角形"

第 9 題
(1) p_n = (1/2)p_(n-1) + (1/2)p_(n-2)
(2) p_n = (2/3) + (1/3)(-1/2)^n

鋼琴大~
第9題（1 ） 接下來該如何做呢?
謝謝喔~~　

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