回復 4# meifang 的帖子
我想你的問題應該是求 \( OG \) 的最小值。
要弄清楚， \( S \) 和 \( \theta \) 是定值。
假設 \( OP=p, OQ=q \) ，那麼 \( P(p\cos\theta, p\sin\theta), Q(q\cos\theta,-q\sin\theta) \)
面積 \(\displaystyle S=\frac{1}{2}pq\sin2\theta, \rightarrow pq=\frac{2S}{\sin2\theta} \)
\(\displaystyle OG^2=(\frac{(p+q)\cos\theta}{3})^2+(\frac{(p-q)\sin\theta}{3})^2 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{9}(p^2+q^2+2pq(\cos^2\theta-\sin^2\theta)) \)
\(\displaystyle \ge \frac{1}{9}(2pq(1+\cos2\theta)) \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S \times \frac{1+\cos2\theta}{\sin2\theta} \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S \times \frac{2\cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S\cot\theta \)
所以
\(\displaystyle OG \ge \frac{2}{3}\sqrt{S\cot\theta} \)
