100基隆高中二招

這是我從美夢成真網站轉過來的檔案 答案是乎很完美 不過是錯的 請問錯在哪 這題的答案是 2
那正解又如何

未命名.jpg (40.18 KB)

2011-8-7 08:57

100.8.7版主補充
我幫你更正文章標題及出處。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2655

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-7 02:14 PM 編輯 ]

這個方法錯在不等式右邊要是個定值
才有當x=？,y=？時，最小值為？

這題可以用偏微分來做，當\( \displaystyle x=-\frac{7}{6}，y=\frac{1}{2} \)時有最小值2

補充歷屆考題
設\( x,y \in R \)，\( P=(x+y-1)^2+(2x-2y+1)^2+(-3x+y+5)^2 \)，求P的最小值？
(96豐原高商)

上面只有解到 \(f(x,y)\geq \sqrt{3}A,\)

但，沒有說明為何 \(\sqrt{3}A\) 的最小值～會是發生在當 \(A=B=C\) 時。

當 \(A=B=C\) 時，是當  \(f(x,y)\geq \sqrt{3}A\)

　　　　　　　　　　　　　　　 ^^^^^^ 的等號成立時，

但該解法漏掉說明，何以 \(\sqrt{3}A\geq \sqrt{3}\times 2\)

　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^ 的等號會成立？





以下提供兩個做法～

解一：

　　\(A=2x+2y+2\)

　　\(B=x+3y+1\)

　　\(C=2x+4y-1\)

　　因為上面三個等號的右手邊只有兩個未知數，

　　所以一定會滿足特定關係式（想想如何拼湊～以消掉 \(x,y\)），

　　找出其關係式如下 \(A+2B-2C=6\)

　　由柯西不等式，可得

　　　　\((A^2+B^2+C^2)(1+2^2+(-2)^2)\geq(A+2B-2C)^2\)

　　　　\(\Rightarrow (A^2+B^2+C^2)\cdot 9\geq 36\)

　　　　\(\Rightarrow \sqrt{A^2+B^2+C^2}\geq 2\)

　　且當等號成立時，

　　　　\(\displaystyle \frac{2x+2y+2}{1}=\frac{x+3y+1}{2}=\frac{2x+4y-1}{-2}\)

　　可解得 \(\displaystyle x=\frac{-7}{6}, y=\frac{1}{2}\)




解二：

　　\((2x+2y+2)^2+(x+3y+1)^2+(2x+4y-1)^2\)

　　\(=9x^2+30xy+29y^2+6x+6y+6\)

　　\(=(3x+5y+1)^2+4y^2-4y+5\)

　　\(=(3x+5y+1)^2+(2y-1)^2+4\)

　　\(\geq 0+0+4=4\)

　　所以，

　　\(\sqrt{(2x+2y+2)^2+(x+3y+1)^2+(2x+4y-1)^2}\geq 2\)

　　且當等號成立時，

　　　　\(3x+5y+1=0\) 且 \(2y-1=0\)

　　可解得 \(\displaystyle x=\frac{-7}{6}, y=\frac{1}{2}\)

　　（還是有人不喜歡解二的配方，想改用微分也可以！）

謝謝老師的說明!

另舉一例說明 :

已知 \(x\geq\frac{1}{2}  ,y=x^2+2\sqrt{x}\)，試求 y 的最小值?

由算幾不等式 \(y=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}=3x\)

它告訴我們的只是圖形 \(y=x^2+2\sqrt{x}\)  恆在  \(y=3x\) 上方，

當等號成立時，解出 \(x=1,y=3\) 代表的是圖形 \(y=x^2+2\sqrt{x}\) 與 \(y=3x\) 的切點，

而不一定是我們所要的  \(y=x^2+2\sqrt{x}\)   的最低點!


所以說，如果不等式的一端已經是定值，其實代表一條水平線，
此時若有切點，那就是我們要的最低(高)點了!

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-8 10:34 AM 編輯 ]

本題亦可考慮 "數形結合"。


想法一: 視所求為 "空間中兩直線的距離"。

所求即兩直線 {a = 2x, b = x, c = 2x} 與 {a = -2 - 2y, b = -1 - 3y, c = 1 - 4y} 的距離。

空間中兩歪斜線的距離求法甚多，例如:

兩直線方向向量外積 = (2, 4, -4) → 取 (1, 2, -2)

所求即 (2, 1, -1) 在 (1, 2, -2) 的投影長 = |(2+2+2) / √9| = 2



想法二: 視所求為 "空間中點至平面的距離"。

因 (2, 1, 2) 不平行 (2, 3, 4)，故 (2x+2y+2, x+3y+1, 2x+4y-1) 可視為"平面的參數式"，該平面為

E: a + 2b - 2c = 6  (係數可由 (2, 1, 2) x (2, 3, 4) 取得)

所求即原點至 E 的距離 = 6 /√9 = 2


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-12 04:35 PM 編輯 ]