96台南女中資優班成就測驗

各位老師們好，
煩請老師們指點一下台南女中96年成就測驗的這三題，
謝謝。：)

103.5.13補充
臺南女中歷屆試題
連結已失效h ttp://www.tngs.tn.edu.tw/departments/shiwu/dirlisting1.asp

將題目重新打字，將來搜尋才找得到。
12.
設\( \displaystyle S_n=1+2+3+\ldots+n \)，\( \displaystyle T_n=\frac{S_1}{S_2-1}\times \frac{S_2}{S_3-1}\times \frac{S_3}{S_4-1}\times \ldots \frac{S_{n-1}}{S_n-1} \)，其中n為大於1之正整數。若\( \displaystyle T_n=\frac{q}{p} \)，其中p與q為互質之正整數，則q之值為　　　。
18.
如圖，四邊形ABCD中，\( ∠BAD=∠BCD=90^o \)，點E及F在\( \overline{AC} \)上，且\( \overline{DE} \overline{AC} \)，\( \overline{BF} \overline{AC} \)。若\( \overline{AE}=3 \)，\( \overline{CE}=7 \)，\( \overline{DE}=4 \)，則\( \overline{BF} \)之長度為　　　。
25.
若\( \alpha \)與\( \beta\)為二次方程式\( ax^2+bx+c=0 \)之二根，則\( \displaystyle \alpha+\beta=-\frac{b}{a} \)且\( \displaystyle \alpha+\beta=\frac{c}{a} \)。若已知\( x^2-ax+3a=0 \)之兩根為整數，且a為正整數，則\( a= \)　　　。(兩解)

25.
令  \(x^2-ax+3a=0 \) 之兩根為 \(\alpha, \beta\)
可得 \( \begin{cases}
\alpha +\beta = a \\
\alpha \beta = 3a \\
\end{cases}
\)
兩式 消掉 \(a\) 可得 \(\alpha \beta - 3 (\alpha + \beta)=0\)
強迫分解可得 \( (\alpha-3) ( \beta - 3) =9 \)
又 \(a>0 , \Rightarrow \alpha, \beta >0\) 且為整數
\( (\alpha-3 ,  \beta - 3 )=(1,9),(9,1),(3,3) \)
\(\Rightarrow (\alpha,  \beta )=(4,12),(12,4),(6,6) \)
\(\Rightarrow a=\alpha+\beta = 16\) or \(12\)

[ 本帖最後由 HDY 於 2014-5-12 11:13 AM 編輯 ]

12. 不難猜測，分子分母應該有互約的可能，而化簡成簡單的形式,

化簡\( \frac{S_{k}}{s_{k+1}}=\frac{k^{2}+k}{k^{2}+3k+2-2}=\frac{k+1}{k+3} \)，故 \( T_{n}=\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{6}\times\cdots\times\frac{n}{n+2}=\frac{2\cdot3}{(n+1)(n+2)} \)

分子中的 2，必與分母可約分，但 3 不一定可約，因此有兩種可能 \( q=1  或  3 \)

當 \( 3\mid n \) 時 \( q=3 \)；否則 \( q= 1 \)

* 這是角A!! Orz 為什麼出不來  \[\angle{A} \]

\[ \angle CAD+\angle BAC=90{}^\circ =\angle ABF+\angle BAC\Rightarrow \angle CAD=\angle ABF\Rightarrow \triangle DEA \sim \triangle AFB\]

令 \[\overline{AB}=5t,\ \overline{BF}=3t,\ \overline{AF}=4t\Rightarrow \overline{CF}=3+7-4t=10-4t\]
利用 \[{{\overline{AB}}^{2}}+{{\overline{AD}}^{2}}={{\overline{BC}}^{2}}+{{\overline{CD}}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{\left( 5t \right)}^{2}}+{{5}^{2}}=\underbrace{{{\left( 3t \right)}^{2}}+{{\left( 10-4t \right)}^{2}}}_{{{\overline{BC}}^{2}}={{\overline{BF}}^{2}}+{{\overline{CF}}^{2}}}+{{\left( \sqrt{65} \right)}^{2}}\]
可解得 \[t=\frac{\ 7\ }{4}  \Rightarrow \overline{BF}=3t=\frac{\ 21\ }{4} \]

修正一下

第 18 題
設直線 DE 交 AB 於 G，直線 BF 交 CD 於 H
AE^2 = DE * GE
GE = 9/4

令 CF = x，EF = 7 - x
AE/AF = GE/BF
BF = (3/4)(10 - x)

CF/CE = HF/DE
HF = (4/7)x

CF^2 = BF * HF
x^2 = (3/4)(10 - x) * (4/7)x
x = (3/4)(10 - x) * (4/7)
x = 3

BF = (3/4) * 7 = 21/4

謝謝各位老師們的詳解，
真是太感謝你們了~~~~~