請教ARML四題

題目在附件中，這四題想破腦袋都想不出來
希望版上的前輩們能給小弟指點一下迷津，謝謝
PS.因為是抄在筆記本上的，所以沒有年份，請見諒

1.
設數列\( <a_n> \)定義如下：\( a_0=1 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2}{1+a_n} \)(\( n=0,1,2,\ldots \))，令\( \displaystyle S_n=\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\ldots+\frac{1}{1+a_n} \)，試證：\( n-1<S_n<n \)。

2.
滿足\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{5^k C_k^n}{k}\ge 6^{2003} \)的最小正整數\( n= \)？
ANS：2007

3.
令\( S(n) \)表示正整數\( n \)減去\( n \)的每一個數字和，例如：\( S(123)=123-(1+2+3)=117 \)，並定義\( S^1(n)=S(n) \)，\( S^{k+1}(n)=S(S^{k}(n)) \)，則使得\( S^{2002}(n)=0 \)的最大整數\( n \)為？
ANS：34689

4.
設\( m \)為固定的整數且\( m>2 \)，試求：滿足方程式\( \displaystyle \left[ \frac{x}{m} \right]=\left[ \frac{x}{m-1} \right] \)正整數解的個數
ANS：\( \displaystyle \frac{m^2-m-2}{2} \)

第一題
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+ \cdots +\frac{1}{1+a_n} \)
\(\displaystyle =(1-\frac{a_1}{1+a_1})+(1-\frac{a_2}{1+a_2})+ \cdots +(1-\frac{a_n}{1+a_n}) \)
\(\displaystyle =n-(\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}) \)

所以相當於證明
\(\displaystyle 0<\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}<1 \)

\(\displaystyle a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2}{1+a_n}=\frac{a_n}{1+a_n} \)

所以
\(\displaystyle \frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+ \cdots +(a_n-a_{n+1})=1-a_{n+1} \)

顯然 \( a_{n+1}>0 \)
又 \( a_2=\frac{1}{2}<1 \) ， 且 \(\displaystyle a_{n+1}=a_n \times \frac{a_n}{1+a_n}<a_n \)
所以 \( a_n<1 \) 當 \( n>1 \)
故得證

非常感謝，我思考的點完全錯了，難怪想都想不出來
一開始是想用裂項相消，試了一堆方法湊不出來
後來想說用數學歸納法，有感覺，但是就是不大對盡

老王老師這雖然也是屬於裂項相消的方法，不過我還真的沒想到這
受教了

我是列出前面4項看出來的，
第二題還沒想法，
第三題，這答案應該是9的倍數才對吧，可以先檢查你的答案嗎??

說來慚愧，第二題，第三題我幾乎沒有什麼頭緒
列出許多項，但仍然看不出其規律

但您一說9的倍數，我想我應該有了頭緒了
是利用3的倍數和9的倍數和亦為3的倍數和9的倍數的性質
容我再試著做做看

另外，答案方面是34689無誤
剛剛翻了一下，這是2002年ARML第二階段的第8題
官方答案確實如此

[ 本帖最後由 皮皮 於 2012-6-15 09:08 PM 編輯 ]

啊，我沒有想仔細，不一定要最後一次最大。
還要再思考。

拿答案34689來說

第一次的數和 =30

往後依序列下去是30,27,18,18,27,27,18,18,18,27,18,18,18,18,27,18,18,18,18,18,18,18,18,18,9,18,18,18,18,18,9,18,
                            27,27,18,18,27,27,18,...

好像沒有規律可言，不過也不排除其中可能有算錯

只知道27,9出現很少次，18出現很多次這個事實而已

老王老師，辛苦您了

先放著吧! 休息要緊，剛剛解題解太久我也都怪怪的

有時候放鬆一下搞不好就靈光一閃想出來了

您肯解這道題目我已經很感激了，我也先去休息了

[ 本帖最後由 皮皮 於 2012-6-15 10:17 PM 編輯 ]

解題是一種樂趣，不管有沒有解出來；只是今年解得題目太多了，就像好吃的東西一直吃，對我來說也是會膩的，所以才會去尋找重新出發的動力。
(以上題外話)

第四題
假設  \(\displaystyle [ \frac{x}{m} ]=[ \frac{x}{m-1} ]=n \)
那麼就有 \(\displaystyle n \le \frac{x}{m} < n+1 \) 以及 \(\displaystyle n \le \frac{x}{m-1} < n+1 \)
進一步 \(\displaystyle mn \le x <m(n+1) \) 以及 \(\displaystyle n(m-1) \le x <(m-1)n+(m-1) \)
以上兩個式子都須滿足，所以必須找尋適當的 \( n \) 使得 \(\displaystyle mn \le x <(m-1)n+(m-1) \) 有解。
亦即要滿足條件 \(\displaystyle mn < (m-1)n+(m-1), \Longrightarrow n < m-1 \)
因為要正整數解，所以知道 \(\displaystyle n=0,1,2, \cdots m-2 \)
此時 \(\displaystyle x=mn,mn+1,mn+2, \cdots mn-n+(m-1)-1 \)
對於 \( n=0 \) ，因為要正整數解，所以 \( x \) 的解會少一個，有 \( m-2 \) 個
對於其他的 \( n \) ，則無此限制，\( x \) 的解有 \( (m-1)-n \) 個，
所以共有
\(\displaystyle (m-2)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +1=(m-1)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +2=\frac{(m+1)(m-2)}{2}=\frac{m^2-m-2}{2} \)