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2013亞太數學奧林匹亞競賽初選

a54028

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1^# 大中小發表於 2017-12-21 13:18 只看該作者

2013亞太數學奧林匹亞競賽初選

二.
令函數f為正實數映射到實數,且滿足下列條件:
1.f是嚴格遞增函數
2.對任意正實數x滿足不等式f(x)

−x1
3.對所有正實數x滿足等式f(x)f[f(x)+(x1)]=1
求f(2)? Ans:41−

5

三.
整數的數列(a1

a2

)滿足下列關係式
an=gcd(an−1

an−2)lcm(an−1

an−2),對所有n

3
已知a560=560,a1600=1600，則a2013是　位數字；而且a2013的個位數字是　，十位數字是　。
(註；lcm(a

b)與gcd(a

b)分別是a

b兩數字的最小公倍數與最大公因數)
Ans:a2013=140

上面兩題第二題無從下手,第三題驗證很多次發現一定會進入互質的循環,根本無法同時出現a560

a1600及官方給的答案,希望大家能一起討論,是否題目有問題

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2013亞太數學奧林匹亞競賽初選.pdf (208.56 KB): 2018-1-20 18:26, 下載次數: 7442

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王重鈞

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2^# 大中小發表於 2017-12-22 00:46 只看該作者

回覆#1

能力尚淺，僅為淺見供參考

至於函數那題遞增那邊的檢查，您就再算一次f(3)就會發現如果f(2)取(1+√5)/4，不管f(3)取哪個答案，f(3)皆小於(1+√5)/4

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a54028

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3^# 大中小發表於 2017-12-22 14:38 只看該作者

第二題為什麼會蹦出第一式跟原式比較呢??

第三題，所以題目並不是要求A560與A1600在同一個循環當中嗎??而是這個分段的情況，意即此三個數140 , 560 , 1600 不會出現在相同的循環。
我第三題遇到的疑惑其實就是最後是由140 , 4 , 35 三個數字在循環，這是不是跟原本的命題矛盾？

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王重鈞

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4^# 大中小發表於 2017-12-22 15:06 只看該作者

回覆#3

函數解題的技巧之一
就是利用單調性
證明若f(a)=f(b)則a=b

另外一題
應該是到後面才開始會完全形成循環數列
你自己思考兩數之差的效果，就會有領悟

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a54028

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5^# 大中小發表於 2017-12-22 15:14 只看該作者

第二題我了解了,只是能夠想到要湊出括號中的型式，真的很不容易，您太厲害了。
第三題我有觀察到他的循環，只是A560-A1600之間就是一片空白嗎??我的疑惑是此數列有一段不存在，即這個數列在整數域並不連續，這樣命題還合理嗎？

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王重鈞

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6^# 大中小發表於 2017-12-22 15:38 只看該作者

回覆#5

其實不算空白，而是中間需要討論
因為你可以反推回去，利用差的效果
但重點你應該要放在
有些數列會在某一項才開始循環
我也幫你找出2的次方的可能
我從a1601的2的次方開始往前推
你會發現可以構造出每3個一循環次方都會變成4
但是兩兩循環的4的，中間兩個數，並沒有呈現循環
Ex:從a1601往前推2的次方數
4,6,10,4,14,18,4,22,26,4,30,34,4,......
但這個數列可以達成a560的2的次方也是4
(因為1601-560=3*347)
以上是小弟剛剛說的，去思考兩數差的效果
才淺，僅為淺見，供您參考

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tsusy

寸絲

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7^# 大中小發表於 2017-12-22 23:29 只看該作者

回復 1# a54028 的帖子

三、方法其實和樓上一樣，但再寫一次，看看會不會比較清楚

首先注意到，不同質數的冪次方，是不會互相影響的，所以在方法上只需看 2 的次方，其它次方的方法相同。以下只看 2 的次方：

2a

2b 後的下一項為 2max(a

b)

2min(a

b)=2

a−b

如果只看指數，考慮

bn

滿足 b560=4

b1600=6 及遞迴式 bn+2=

bn−bn+1

舉例觀察：若 b559=1000，則由 b559 開始往後的各項為 1000

4

996

992

4

988

984

4

12

8

4

0

4

0

若 b559=999，則由 b559 開始往後的各項為 999

4

995

991

4

987

983

4

11

7

4

3

1

2

1

0

1

0

若 b559=998，則由 b559 開始往後的各項為 998

4

994

990

4

986

982

4

10

6

4

2

0

2

0

其規則為
(1) 當未出現小於 4 的項時，b560+3k=4，出現後則符合規則(2)
(2) 而抽掉這些 4 後，則以等差遞減至小於 4 後，不再出現大於 4 的數，且不久後出現循環現象。

因 b1600=6，依規則(2) 知 b1600 前未出現循環現象，符合 b560+3k=4，抽掉這些 4 後，為等差遞減，因此可推得 b559=6+31600−559

8=2782，則從第 559 項開始為 2782, 4, 2778, 2774, 4, ... ，

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a54028

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8^# 大中小發表於 2017-12-23 01:27 只看該作者

感謝各位解答，APMO的題目真的很有水準，受教了

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王重鈞

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9^# 大中小發表於 2017-12-23 03:18 只看該作者

回覆7# 8#

7#寸大寫的太好了，小弟獻醜了XD
8#您有弄懂就好，不客氣的

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