2013亞太數學奧林匹亞競賽初選

二.
令函數\(f\)為正實數映射到實數,且滿足下列條件:
1.\(f\)是嚴格遞增函數
2.對任意正實數\(x\)滿足不等式\( \displaystyle f(x) > -\frac{1}{x}\)
3.對所有正實數\(x\)滿足等式\( \displaystyle f(x)f[f(x)+(\frac{1}{x})]=1 \)
求\(f(2)\)?  Ans:\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{4} \)

三.
整數的數列\( (a_1,a_2,\ldots) \)滿足下列關係式
\( \displaystyle a_n=\frac{lcm(a_{n-1},a_{n-2})}{gcd(a_{n-1},a_{n-2})} \),對所有\(n \ge 3\)
已知\(a_{560}=560\),\( a_{1600}=1600\)，則\(a_{2013}\)是　位數字；而且\(a_{2013}\)的個位數字是　，十位數字是　。
(註；\(lcm(a,b)\)與\(gcd(a,b)\)分別是\(a,b\)兩數字的最小公倍數與最大公因數)
Ans:\(a_{2013}=140\)


上面兩題第二題無從下手,第三題驗證很多次發現一定會進入互質的循環,根本無法同時出現\(a_{560},a_{1600} \)及官方給的答案,希望大家能一起討論,是否題目有問題

能力尚淺，僅為淺見供參考

至於函數那題遞增那邊的檢查，您就再算一次f(3)就會發現如果f(2)取(1+√5)/4，不管f(3)取哪個答案，f(3)皆小於(1+√5)/4

第二題為什麼會蹦出第一式跟原式比較呢??

第三題，所以題目並不是要求A560與A1600在同一個循環當中嗎??而是這個分段的情況，意即此三個數140 , 560 , 1600 不會出現在相同的循環。
我第三題遇到的疑惑其實就是最後是由140 , 4 , 35 三個數字在循環，這是不是跟原本的命題矛盾？

函數解題的技巧之一
就是利用單調性
證明若f(a)=f(b)則a=b

另外一題
應該是到後面才開始會完全形成循環數列
你自己思考兩數之差的效果，就會有領悟

第二題我了解了,只是能夠想到要湊出括號中的型式，真的很不容易，您太厲害了。
第三題我有觀察到他的循環，只是A560-A1600之間就是一片空白嗎??我的疑惑是此數列有一段不存在，即這個數列在整數域並不連續，這樣命題還合理嗎？

其實不算空白，而是中間需要討論
因為你可以反推回去，利用差的效果
但重點你應該要放在
有些數列會在某一項才開始循環
我也幫你找出2的次方的可能
我從a1601的2的次方開始往前推
你會發現可以構造出每3個一循環次方都會變成4
但是兩兩循環的4的，中間兩個數，並沒有呈現循環
Ex:從a1601往前推2的次方數
4,6,10,4,14,18,4,22,26,4,30,34,4,......
但這個數列可以達成a560的2的次方也是4
(因為1601-560=3*347)
以上是小弟剛剛說的，去思考兩數差的效果
才淺，僅為淺見，供您參考

三、方法其實和樓上一樣，但再寫一次，看看會不會比較清楚

首先注意到，不同質數的冪次方，是不會互相影響的，所以在方法上只需看 2 的次方，其它次方的方法相同。以下只看 2 的次方：

\( 2^a, 2^b \) 後的下一項為 \( 2^{\max(a,b)} / 2^{\min(a,b)} = 2^{|a-b|} \)

如果只看指數，考慮 \( <b_n> \) 滿足 \( b_{560} =4, b_{1600} =6 \) 及遞迴式 \( b_{n+2} = | b_n - b_{n+1} | \)

舉例觀察：若 \( b_{559} = 1000 \)，則由 \( b_{559} \) 開始往後的各項為 \( 1000,4,996,992,4,988,984,4,\ldots,4,12,8,4,4,0,4,4,0,\ldots \)

若 \( b_{559} = 999 \)，則由 \( b_{559} \) 開始往後的各項為 \( 999,4,995,991,4,987,983,4,\ldots,4,11,7,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,\ldots \)

若 \( b_{559} = 998 \)，則由 \( b_{559} \) 開始往後的各項為 \( 998,4,994,990,4,986,982,4,\ldots,4,10,6,4,2,2,0,2,2,0,\ldots \)

其規則為
(1) 當未出現小於 4 的項時，\( b_{560+3k} =4 \)，出現後則符合規則(2)
(2) 而抽掉這些 4 後，則以等差遞減至小於 4 後，不再出現大於 4 的數，且不久後出現循環現象。

因 \( b_{1600} = 6 \)，依規則(2) 知 \( b_{1600} \) 前未出現循環現象，符合 \( b_{560+3k} =4 \)，抽掉這些 4 後，為等差遞減，因此可推得 \( b_{559} = 6 + \frac{1600-559}{3}\times8 = 2782 \)，則從第 559 項開始為 2782, 4, 2778, 2774, 4, ... ，

感謝各位解答，APMO的題目真的很有水準，受教了

7#寸大寫的太好了，小弟獻醜了XD
8#您有弄懂就好，不客氣的