101台中二中

附上中二中計算題


請問計算第二題要怎麼算?

【註： weiye 於 101/05/21, 09:24 AM 新增加台中二中公告的試題與答案】

2.
已知複數\( z_1=x+\sqrt{5}+yi \)，\( z_2=x-\sqrt{5}+yi \)，\( x,y \in R \)且\( |z_1|+|z_2|=6 \)，則\( f(x,y)=|2x-3y-12| \)的最大值為？
(奧數教程　高二　第6講　複數及其運算的幾何意義)


4.
長寬方別為4,3的長方形ABCD沿對角線\( \overline{AC} \)摺成\( 90^o \)的兩面角(即平面ABC與平面ACD夾\( 90^o \))，求空間中B和D的距離？

長方形ABCD中,已知\( \overline{AB}=4 \)，\( \overline{AD}=3 \)，沿著\( \overline{AC} \)將平面ABC摺起使與平面ACD夾角為60度,求此時的\( \overline{BD} \)長為何?
https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

6.
求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=1#pid3652

8.
若干個正整數之和為2012，試求它們乘積的最大值。(以指數表示，不必乘開)
更多類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919&page=1#pid1945

計算題1.
一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點A上，此時它隨機選擇一個鄰近的頂點(每個鄰近的頂點被選中的機率皆為\(  \displaystyle \frac{1}{3} \))，並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個鄰近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼恰在30分鐘後，它的位置恰好在一開始起步之頂點A的機率是多少呢？(以指數表示，不必乘開)
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1318&page=4#pid5071


計算題4.
a,b,c為三角形的三邊長，證明：\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807
(1996APMO，97中二中，99新竹實驗高級中學)
99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-974-1-1.html

想請教填充第1題和計算第2,3,5題,謝謝

請參考




計算五. 可以使用偏微分下去算，但是小弟不才，只會帶原始定義。

設兩變數\(X,Y\)的\(n\)組資料為\((x_i,y_i),i=1,2,\ldots,n\)，且算術平均數分別為\(\overline{x}\)與\(\overline{y}\)，利用最小平方法求得的迴歸直線為\(\hat{y}=a+bx\)。設變數\(\hat{Y}\)的資料為\(\hat{y}_i=a+bx_i\)，變數\(E=Y-\hat{Y}\)的資料為\(e_i=y_i-\hat{y}_i\)，試證：\(\displaystyle \sum_{i=1}^n e_i=\sum_{i=1}^n x_ie_i=\sum_{i=1}^n\hat{y}_ie_i=0\)。
[解答]
樓上好精采，小弟來補一下，偏微分做計算 5 的方法，以下的 \( \sum = \sum_{i=1}^n \)

令誤差平方和 \( SR(\alpha, \beta ) = \sum (y_i - \alpha - \beta x_i)^2 \)

其在 \( (\alpha, \beta )= (a,b) \) 有最小值，故 \( \nabla SR\mid_{(a,b)} = 0 \)

計算其在 \( (a,b) \) 處之偏微分， \( D_1SR(a,b) = \sum -2e_i \),  \( D_2SR(a,b) = \sum (-2e_i\cdot x_i) \)

故得 \( \sum e_i = \sum x_ie_i = 0 \)，由兩線性組合得 \( \sum \hat y_ie_i =0 \)

請教一下: 如何解釋--四面體中至四頂點等距的平面有7個
謝謝

7.
給定空間中6點，其中任四點不共面，則至多有　　　個相異的平面恰與其中四點等距。
[解答]
考慮該平面兩邊點數為 (2, 2) (1, 3) 兩種情況

點固定，就像算歪斜線距離的方式，平面的法向量就被固定，移動平面恰有一個。

所以有 \( \frac{C^4_2}{2} + C^3_1 = 7 \)

請問老師們
第5題解答中
設 f(x) 的 x 切點為 t , g(x)  的 x 切點為何可設為 -t
謝謝

公切線，所以兩函數在兩切點的微分值相同，可得 t 的關係