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99、100年台南一中科學班初試

ycdye

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1^# 大中小發表於 2014-5-26 23:30 只看該作者

99、100年台南一中科學班初試

因為在研究資優班的題目常常卡題，
真的很感謝各位老師們不吝協助解題，
也很感謝有這個論壇可以詢問。

附件是99和100年的台南一中科學班考題，
共有7題想不出來怎麼解，
有一起附上解答，
再麻煩老師們指點，謝謝。

103.5.28補充
將題目重新打字，將來搜尋才找得到。
題目下載
http://w3.tnfsh.tn.edu.tw/sec/downloads.htm

臺南一中99年科學班初試
8.
利用(

5+

3)6+(

5−

3)6=3904 ，求小於1(

5−

3)6之最大整數為何？
(A)59　(B)60　(C)61　(D)62　(E)63

9.
當f(x)=x

1−2x(0

x

21) 有最大值時，x=nm(化為最簡分數)，求m+n=？
(A)4　(B)5　(C)6　(D)7　(E)8

17.
如右圖，將平形四邊形兩對邊取五等分及四等分，並將等分點連成兩組等距離平行線。已知網狀中的小平行四邊形的面積為5，試求原來大的平行四邊形的面積？
(A)97.5　(B)100　(C)95　(D)85　(E)92.5

18.
如圖所示，A、B、C三圓彼此外切且均內切於圓D，已知B、C兩圓全等且半徑均為1，圓A通過圓D的圓心，則圓A的半徑為多少？
(A)23　(B)32

3 　(C)78　(D)23(

3+1) 　(E)89

[臺南一中100科學班]
3.
設二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足條件：f(0)=2，f(1)=−1，且其圖形在x軸上所截得的線段長為2

2 ，則a=　　。
答案：1或−79

8.
△ABC中，AB=AC=6，D、E分別在AB、AC上，AD=AE=2，且CD⊥BE，則BC=　　。
答案：512

5

12.
如圖，ABCD為一梯形且BC

AD，設∠ADC=57o，∠DAB=33o，BC=6，AD=10，若M、N分別為BC、AD之中點，求：(1)∠MNA之度數　(2)MN長
答案： 114^o 、2

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-28 06:00 AM 編輯 ]

附件

99、100南一中科學班初試.JPG (165.74 KB)

2014-5-26 23:30

99、100南一中科學班初試.JPG

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hua0127

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2^# 大中小發表於 2014-5-27 00:00 只看該作者

回復 1# ycdye 的帖子

貢獻一題第8題：
因為0<{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}^{6}}<1, 可推得3903<{{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)}^{6}}<3904, 故所求
\frac{1}{{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}^{6}}}=\frac{{{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)}^{6}}}{{{2}^{6}}}介於 \frac{3903}{64},\frac{3904}{64}之間，做除法得到答案為60

若有寫得不詳盡的地方歡迎再詢問

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-27 12:02 AM 編輯 ]

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hua0127

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3^# 大中小發表於 2014-5-27 00:58 只看該作者

第9題：
我想應該是不能使用微分，就來個算幾吧(不知道能不能用，若不能用我也無招了，只好等其他先進XD
因為在0\le x\le \frac{1}{2}下, 1-2x\ge 0, 利用算幾不等式：
\frac{x+x+\left( 1-2x \right)}{3}\ge \sqrt[3]{{{x}^{2}}\left( 1-2x \right)} 移項整理可推出所求的最大值，
但本題只關心此時的x值為何，故等號成立時，x=1-2x\Rightarrow x=\frac{1}{3}, 故m+n=4

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wrty2451

冠

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4^# 大中小發表於 2014-5-27 01:00 只看該作者

回復 1# ycdye 的帖子

睡不覺來算一題第3題，不太會用語法見圖檔。

謝謝bugmens老師幫忙打字，已將圖檔移除。103.5.27

103.5.27將圖檔重新打字
3.
f(x)=ax^2+bx+c
f(1)=-1
f(0)=2
∵ f(0)=2 ， ∴ c=2
\displaystyle x=\frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} (和x軸交點)

\displaystyle \frac{2 \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=2 \sqrt{2}

\sqrt{b^2-4ac}=2 \sqrt{2}a

b^2-4ac=8a^2

b^2=8a^2+8a 　－－①

f(1)=a+b+c=-1

a+b=-3 　－－② (②代入①)

9+6a+a^2=8a^2+8a

7a^2+2a-9=0

\displaystyle a=1 or -\frac{9}{7}

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2014-5-27 05:30 PM 編輯 ]

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thepiano

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5^# 大中小發表於 2014-5-27 11:13 只看該作者

請參考

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2014-5-27 11:13

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hua0127

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6^# 大中小發表於 2014-5-27 11:34 只看該作者

回復 1# ycdye 的帖子

第18題：
設圓D圓心為O, BC 中點為M，圓A半徑為y, OM長度為x, 則
可推知長度 AB=y+1, AM=x+y, OB=2r-1, BM=1, 由畢氏定理知
\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( 2y-1 \right)}^{2}} \\ & {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right. 即可解出 y=\frac{9}{8}

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hua0127

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7^# 大中小發表於 2014-5-27 13:16 只看該作者

第12題：
將直線AB、CD延伸出去交點設為O, 則三角形OAB為直角三角形，
因為N為AD中點，亦為三角形OAB的外心，所以ON=DN=AN=5
可得三角形ODN為等腰三角形，所以角MNA為2倍角ODN(外角)
故角MNA=114度

再來因為ON=5, OM:MN=3 : (5-3)=3:2, 故MN長度為2