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102內湖高中

tuhunger

阿基鴻德

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1^# 大中小發表於 2013-5-27 11:00 只看該作者

102內湖高中

歡迎各位戰友分享!

第5題: 類似101台中一中填充題第15題,但細節討論更多

第4題: 給一題高雄某高中的考題 ,附詳解

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-7 07:06 PM 編輯 ]

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2013-6-7 19:06

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2013-5-27 12:06 只看該作者

3.

ABC，cosA:cosB:cosC=25:39:(−3)，求a:b:c
[解答]
cosC=cos(

−(A+B))=−cos(A+B)=−cosAcosB+sinAsinB=−cosAcosB+

(1−cos2A)(1−cos2B)

cosC+cosAcosB=

1−cos2A−cos2B+cos2Acos2B

cos2C+2cosAcosBcosC+cos2Acos2B=1−cos2A−cos2B+cos2Acos2B

2cosAcosBcosC+cos2A+cos2B+cos2C−1=0

令cosA=25t，cosB=39t，cosC=−3t

代入上式得2(25t)(39t)(−3t)+(25t)2+(39t)2+(−3t)2−1=0

5850t3−2155t2+1=0
(45t−1)(130t2−45t−1)=0　(我用數學軟體算出來的)
另外兩根為t=−0

020953819317376，t=0

36710766547122
當t=−0

02時，cosA

cosB都是負的，∠A

∠B大於90

當t=0

36時，cosB=39

0

36=14

04
所以另兩根都不合

t=145

cosA=4525=95　，　cosB=4539=1513　，　cosC=45−3=−115

sinA=92

14 　，　sinB=152

14 　，　sinC=154

14

a:b:c=5:3:6

105.1.17補充一題
三角形ABC中，已知cosA:cosB:cosC=25:19:7，求sinA:sinB:sinC=？

112.7.11補充
\Delta ABC中，sinA:sinB:sinC=3:5:7，求cosA:cosB:cosC=　　　。
(112羅東高工，https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html)

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吳東岳

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3^# 大中小發表於 2013-5-27 15:50 只看該作者

第八題

三角形ABC上邊上分別有DEF三點

AD BE CF 共點於H點

若角ADC為120度角EDC為60度求角ADF?

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lyingheart

萊因哈特

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4^# 大中小發表於 2013-5-27 16:54 只看該作者

回復 3# 吳東岳的帖子

令直線EF分別交直線AD和直線BC於P和Q
因為AD、BE、CF共點，所以 E、F；P、Q 是調和點列，
那麼 DE、DF；DP、DQ 為調和線束，
而DE是角PDC的角平分線，
故DF是角PDB的角平分線，
角ADF=30度

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tuhunger

阿基鴻德

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5^# 大中小發表於 2013-5-27 18:05 只看該作者

引用:

原帖由 lyingheart 於 2013-5-27 04:54 PM 發表
令直線EF分別交直線AD和直線BC於P和Q
因為AD、BE、CF共點，所以 E、F；P、Q 是調和點列，
那麼 DE、DF；DP、DQ 為調和線束，
而DE是角PDC的角平分線，
故DF是角PDB的角平分線，
角ADF=30度 ...

PS:沒圖沒真相...煩請高手在做更詳細解說

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lyingheart

萊因哈特

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6^# 大中小發表於 2013-5-27 19:43 只看該作者

回復 5# tuhunger 的帖子

那我換個寫法好了
對三角形ABC三線AD、BE、CF交於H，由西瓦定理得
\displaystyle \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA}=1

CE是角平分線，所以
\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DA}

兩式比較
\displaystyle \frac{AF}{FB}=\frac{AD}{DB}

故DF為角平分線。

(原則上這些都不需要圖，可以自己畫一下就好)

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godness

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7^# 大中小發表於 2013-5-27 20:31 只看該作者

我是用入射角等於反射角求出來的....^^"
方法：
因為角ADC=120度，角EDC=60度，所以角ADE=60度，
然後延伸FD直線，此時ED垂直FD，(因為入射角等於反射角，所以ED為FD的法線)
所以角FDA=30度，故角BDF=30度。

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2013-5-27 20:31

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lyingheart

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8^# 大中小發表於 2013-5-27 21:09 只看該作者

回復 7# godness 的帖子

應該沒分，
ED垂直FD，這哪來的??

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godness

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9^# 大中小發表於 2013-5-27 21:24 只看該作者

回復 8# lyingheart 的帖子

根據入射角等於反射角的定義，FD為反射面，那我們就可以知道ED為反射面的法線，所以會垂直。

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lyingheart

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10^# 大中小發表於 2013-5-27 21:39 只看該作者

回復 9# godness 的帖子

"ED為反射面的法線"這句沒錯，但此時為何反射面會是FD??
如果你在BF上任取一點G，那麼直線GD是不是反射面??為什麼??
而且你這樣子，完全沒把H點放在眼裡，不覺得很奇怪嗎??

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第八題

回復 3# 吳東岳 的帖子

引用:

回復 5# tuhunger 的帖子

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回復 7# godness 的帖子

回復 8# lyingheart 的帖子

回復 9# godness 的帖子

回復 3# 吳東岳的帖子