102建國中學

有鑑於學校沒公告數學科的試題

所以來回憶一下題目，有的地方沒有記得很清楚

還請有考試的考生幫忙回憶一下，謝謝！部分題目可能不太正確

其中填5 的圖是自己畫的，跟試卷的標記可能不太一樣，也忘了要求哪段的長度了

填10，則是只記得形狀，忘記數字了，經 Google 大神協助本題出處應為 2004年(第三屆)中國女子數學奧林匹克試題
數字為 \( \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c} \)

填11，敘述也許和原題有出入?因為題目寫得太長了

另外填12，題目是否有給 \( x> -1 \) 之類的條件？

請慢慢享用

附上部分個人算的數字，僅供參考，歡迎指正。

填充題
1. \( -\frac{159}{160} \)                     2. \( \frac{5}{2} < b < 4 \)

3. \( \frac{1}{32} \)                         4. 2084

5. \( \frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} \)          6. \( \frac{6}{11} \)

7. \( \frac{1}{\sqrt{10}} \)                      8. \( \frac{4}{5} \)

9. \( x< \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) 或 \( 1 < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

10. \( -17+12\sqrt{2} \)       11.\( n-1 \)

12. \( \frac{1}{x+1} \)

計算3. \( (0,0,z) \) 及 \( (1,-1,-1) \)

附件檔案修正
2. 修正填 2 的敘述，感謝鋼琴大修正。
3. 補上漏掉的條件 \( f(\frac{x}{6}) = \frac{f(x)}{2} \)，感謝鋼琴大提醒。
5. 應該求 \( \overline{BE} \) 之長。
8. 修正為 \( bx^2 \)，感謝 dream10 提醒修正。
12. 修正為 \( t^x \)

6.空間中，有四個球兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球外切，則其半徑=？

空間有四個球，他們的半徑分別為2,2,3,3，每個球都與其餘3個球外切，另有一個小球與那四個球都外切，求該小球的半徑？
(1995中國數學奧林匹克)

102.4.14補充
感謝老王提醒忘了還有索迪公式
計算\( \displaystyle 3(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{r^2})=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{r})^2 \)
解出\( \displaystyle r=\frac{6}{11},-6 \)
老王的部落格有證明h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=5697&prev=5702&next=-1連結已失效
拼圖拼字拼數學P229，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604



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[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-4-14 07:05 PM 編輯 ]

請教填充 9,2 有無什麼好方法

9.
不等式\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3}>x^3+2x\)的實數解為　　　　。
[解答]
個人的想法是 \( LHS = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^3} \) 分段遞減。而且在 \( 1\pm \) 處為 \( \pm \infty \)

而 \( RHS = x^3+2x \) 微分可知，嚴格遞增。

故僅需解 \( \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3} = x^3+2x \) 之兩實根。

即方程式 \( x^{6}-3x^{5}+5x^{4}-7x^{3}+4x^{2}+2x-3=0 \) 之兩實根 \( \alpha< \beta \)

而不等式之解則為 \( x < \alpha \vee 1 < x < \beta \)。

但易驗，該六次式沒有理根，然後就卡了

附上 Wolfram Alpha 的答案 \( x < \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) 或 \( 1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

2.
平面上坐標上，\(\Gamma\)為所有的點\(P\)滿足到直線\(x=4\)與\((1,0)\)的距離和為5之曲線。試求\(b\)的範圍，使得\(\Gamma\)上恰有三組點，關於點\((b,0)\)對稱。
[解答]
想法，先畫個概圖



注意上下對稱於 x 軸 必一組，另兩組為是 \( y = \pm c \)，四個交點成矩形，畫個對角線交點就是 \( (b,0) \)

但 \( c=0 \), \( b =\frac52 \) 會多出一組左右對稱點，隨著 \( c \) 從 \( 0\to 4\)，猜測 \( b \) 從 \( \frac52 \to 4 \)

故猜答案為 \( \frac52 < b < 4 \)

填充第 2 題
寸絲老師的幾何解法很漂亮且答案應是正確的，建議題目最後一句改成 "使得Γ上恰有三組點，關於(b，0)對稱" 比較好理解

這題最難的地方是畫出Γ

關於第六題
順便記一下索迪(Soddy)公式吧:
對於\(n\)維情況，有\(n+2\)個球互相切來切去，所有球的半徑記為 \( r_i \)，
再記半徑的倒數為 \(\displaystyle c_i=\frac{1}{r_i} \)
那麼有
\(\displaystyle n \sum_{i=1}^{n+2}c_i^2=(\sum_{i=1}^{n+2}c_i) ^2 \)

我後悔了，本來打算不等式推推推出來，
推了半天推出錯
還是跟隨寸絲老大的腳步求那兩根就好
\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3}=x^3+2x\)
\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+2}{(x-1)^3}-2x=x^3-\frac{1}{(x-1)^3}\)
\(\displaystyle -2(x-\frac{1}{x-1})=(x-\frac{1}{x-1})(x^2+\frac{x}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2})\)
\(\displaystyle x-\frac{1}{x-1}=0\)
\(\displaystyle x=\frac{1+-\sqrt{5}}{2}\)
所以\(\displaystyle x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)或\(\displaystyle 1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

解得漂亮，原來是把 2 跟 2 放一起，1 跟 1 也放一起

什麼時候我才可以也有這種眼力，看出其中竅門所在

有關填充 2，我發現 \(\displaystyle Γ \) 其實只是兩個拋物線的合成圖:
\(\displaystyle x<4\) 時，為 \(\displaystyle y^2=4x ... Γ _1\)
\(\displaystyle x>4\) 時，為 \(\displaystyle y^2=-16x+80 ... Γ _2\)

不難得到若要在 \(\displaystyle Γ _1\)上找一組點對稱 (b,0)，則這組點必對稱 x 軸。
所以要在兩個拋物線上各找一點，才有可能產生三組關於 (b,0) 的對稱點。

令 \(\displaystyle P(\frac{a^2}{4},a)\)，其關於 (b,0) 的對稱點 \(\displaystyle Q(2b-\frac{a^2}{4},-a)\) 落在 \(\displaystyle Γ _2\) 上，
化簡得到 \(\displaystyle b=\frac{3a^2+80}{32}\)
因為 \(\displaystyle 0<a<4\)，故 \(\displaystyle \frac{5}{2}<b<4\)。

別誇我 , 我寧願拿我碰巧的眼力換你千錘百鍊的實力
小弟正在算你的大作        Math Note 01-10
目前正在第九頁 , 看到了一些錯誤 , 不過可以肯定的是數學寶典不會再是101了
被你奪走了
對了
42題 , 我弄不出來

原來如此~~感謝 Joy091 解惑

另外填 3 是個有趣的題目，做法如下

填 3.
若函數\(f(x)\)滿足\(f(1)=1\)，\(f(x)+f(1-x)=1\)，\(\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{1}{2}f(x)\)，其中\(0\le x\le 1\)，且對\(0\le x_1<x_2\le 1\)，有\(f(x_1)\le f(x_2)\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{2013})=\)　　　。
[解答]
注意由函數之性質可得 \(f(\frac16) = \frac12 = f(\frac56) \)

又 \( \frac16 < \frac{6^4}{2013} < \frac56\), 故 \( f(\frac{6^4}{2013})=\frac12\)

因此所求 \( f(\frac1{2013}) = \frac1{32}\)

補充一類題：設函數 \(f (x) \) 在\( 1 \leq x\leq  3\) 時，滿足 \(f (x) =1-|x-2|\) ，且對所有的正數 \(x\)，\(f (x)\) 滿足\(f(3x) = 3f (x)\)。試求最小的正數 \(x\) 使得 \(f (x) = f (2011)\)。
(100二區能力競賽 )(2001AIME 則是 2011變成 2001)

填 4.
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2013}\Bigg[\;\root 5 \of {\frac{2013}{k}} \Bigg]\;=\)　　　。([]為高斯符號)
[解答]
則是基本的題型，提供一個有趣的方法：Fubini 定理

令 \( S=\{\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\mid k=1,2,3\ldots,2013\} \), \( S_{n}=S\cap\{x\mid x\geq n\} \)。

由 Fubini 定理有 \(\sum\limits _{k=1}^{2013}\left[\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\right]=\sum\limits _{n=1}^{\infty}|S_{n}|\) 。

\( \left[\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\right]\geq n\Leftrightarrow\frac{2013}{k}\geq n^{5}\Leftrightarrow\frac{2013}{n^{5}}\geq k \)，

故 \( |S_{n}|=\left[\frac{2013}{n^{5}}\right]=2013,62,8,1,0,0\ldots \)。故所求 \(=2013+62+8+1=2084\)。

類題：2. \(y=[x] \) 表高斯函數，求 \(\sum\limits _{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]\)。(101文華高中)