99 屏北高中

屏北高中也公佈題目了，

不過似乎是用直接掃描的，原始檔案有點大，

所以小弟又把它重新打過，

如有打錯字或數據打錯的話，希望網友能不吝告知，感謝。

另外，想看該校提供的原始題目的話，

可見 《點我》

3.假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( \vert\ Q-A \vert\ + \vert\ Q-B \vert\ + \vert\ Q-C \vert\ \)的最小值)
[提示]
費馬點，以AC為邊長作正三角形ACP，其中P點坐標為\( (-2 \sqrt{3},2) \)，求\( \overline{PB} \)就是最小值



關於費馬點的題目我比較喜歡這題
\( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx } \)，求\( x+y+z= \)？




3.如下圖，△ABC，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，∠ACD=α，∠DCE=β，∠ECD=γ，求\( \displaystyle \frac{sin α \cdot sin γ}{sin β}= \)？
(徐氏數學2A　P2.5-8)
(我的教甄準備之路　面積法，有相同圖形的類似題目)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112



8.△ABC中，\( ∠ABC=90^o \)，\( \overline{AB}=1 \)，若延長\( \overline{AC} \)到D，並使得\( \overline{AB}=\overline{CD}=1 \)，若\( ∠CBD=30^o \)，求\( \overline{AC} \)長。
(我的教甄準備之路　面積法，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112)

請教你提到費馬點的問題該怎麼解呢?謝謝。

設 \( x,y,z \)為正實數，\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \)，求\( x+y+z= \)？

解答：

\( \displaystyle \left\{\ \matrix{3^2=x^2+y^2-2xy\cos120^\circ \cr 4^2=y^2+z^2-2yz\cos120^\circ \cr 5^2=z^2+x^2-2zx\cos120^\circ }\right. \)

令 \(\triangle ABC\) 滿足 \(AB=4, AC=3, BC=5\)，

且 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部一點，滿足 \(PC=x, PA=y, PB=z, ∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=120^\circ\)，

題目要求 \(x+y+z=PC+PA+PB.\)

將 \(\triangle CAP\) 以 \(A\) 點為中心，往外旋轉 \(60^\circ\) 得 \(\triangle DAQ\)，

則 \(CP=DQ, ∠ DQA=120^\circ\)。

在 \(\triangle APQ\) 中，因為 \(AP=AQ\) 且 \(∠ PAQ=60^\circ\)，

得 \(\triangle PAQ\) 為正三角形，且 \(PQ=PA=y\) 且 \(∠ PQA=∠ QPA=60^\circ.\)

故，\(D,Q,P,B\) 四點共線，且 \(DB=DQ+QP+PB=PC+PA+PB=x+y+z.\)

利用畢氏定理，可得

\(DB=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}+4\right)^2}=\sqrt{25+12\sqrt{3}}.\)

請問第七題要如何解題呢？
還有第九題除了帶n=1,n=2的機率解聯立求a,b之外，不知是否還有其他辦法可解題？
(我是找出n=1和n=2時數字1出現偶數點的機率去解聯立求a,b)
謝謝老師們的幫忙!

第 7 題

若 \(m\in\mathbb{N}\)，求 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac{m}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \cdots  - \frac{1}{n+m}\right)=?\)


解答：

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\left(\frac{m}{n} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \cdots  - \frac{1}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left(m - \frac{n}{n+1} - \frac{n}{n+2} - \cdots  - \frac{n}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left\{ \left(1- \frac{n}{n+1}\right) +\left(1-\frac{n}{n+2}\right)+\cdots +\left(1 - \frac{n}{n+m}\right)\right\}\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} n\left( \frac{1}{n+1} +\frac{2}{n+2}+\cdots +\frac{m}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{n}{n+1} +\frac{2n}{n+2}+\cdots +\frac{mn}{n+m}\right)\)

\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}} +\frac{2}{1+\frac{2}{n}}+\cdots +\frac{m}{1+\frac{m}{n}}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{1+0} +\frac{2}{1+0}+\cdots +\frac{m}{1+0}\)

\(\displaystyle =1+2+\cdots+m=\frac{m\left(m+1\right)}{2}.\)






第 9 題：

若投擲 \(n\) 顆公正的骰子，有偶數顆為 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\left(a+b^n\right)\)，求 \(\left(a,b\right)=?\)

解答：

設擲 \(n\) 顆公正的骰子，有偶數顆為 \(1\) 點的機率是 \(P(n)\)，則有奇數顆是 \(1\) 的機率為 \(1-P(n).\)

先找出遞迴關係，

\(\displaystyle P(1)=\frac{5}{6}\) ，且當 \(\displaystyle n\geq2\) 時，\(\displaystyle P(n)=\frac{1}{6}\left(1-P(n-1)\right)+\frac{5}{6}P(n-1)\)

　　　　　　　　　　　　　　　　\(\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}P(n-1)\)

先調整成形如 \(\displaystyle \left(P(n)+k\right)=\lambda\left(P(n-1)+k\right)\) 的形式，

\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)\)

所以，

　　　\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{2}\right)\)

　　　\(\displaystyle P(n-1)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(n-2)-\frac{1}{2}\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle \vdots\)

　　　\(\displaystyle P(2)-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)\)

將上式乘起來，可得

\(\displaystyle P(n)-\frac{1}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(P(1)-\frac{1}{2}\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow P(n)=\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)\)

　　　　\(\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\)

　　　　\(\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\)

　　　　\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).\)

類似題目：

1. https://math.pro/db/thread-408-1-1.html

2. https://math.pro/db/thread-626-1-1.html

謝謝weiye老師
也很感謝您提供相關題目，獲益良多。
謝謝您

請問填充第2 : .............有多少組可能的根使得\(g(x)\)可表成\(x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6=0\) , 如何求?

99 國立屏北高中教師甄試試題

第 2 題：

假設一個 \(5\) 次整係數多項式 \(g(x)\) 的根全為整數，試問共有多少組可能的根使得 \(g(x)\) 可以表成 \(g\left(x\right)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+6\)，其中 \(a,b,c,d\) 為整數.


解答：

由牛頓有理根定理（多項式的整係數一次因式檢驗法），

可知 \(g(x)=0\) 的整數根只有可能為 \(\pm1, \pm2, \pm3,\pm6\)

且因為五根之積為 \(-6\)，

所以，

case i: 有兩根為 〝\(2,3\)〞 或 〝\(-2,-3\)〞時，

　　　 只能搭配另外三根為 〝\(1,1,-1\)〞 或  〝\(-1,-1,-1\)〞 ，

　　　有 \(2\times2=4\) 組.


case ii: 有兩根為 〝\(-2,3\)〞 或 〝\(2,-3\)〞時，

　　　 只能搭配另外三根為 〝\(1,1,1\)〞 或 〝\(1,-1,-1\)〞 ，

　　　有 \(2\times2=4\) 組.

case iii: 有一根為 \(-6\) 時，

　　　 只能搭配另外四根為 〝\(1,1,1,1\)〞 或  〝\(-1,-1,1,1\)〞 或  〝\(-1,-1,-1,-1\)〞，

　　　有 \(1\times3=3\) 組.


case iv: 有一根為 \(6\) 時，

　　　 只能搭配另外四根為 〝\(-1,1,1,1\)〞 或  〝\(-1,-1,-1,1\)〞，

　　　有 \(1\times2=2\) 組.

所以，共有 \(4+4+3+2=13\) 組.

請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ?  ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎?