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填充 10.
空間中一直線\(L\)在\(xy\)平面之投影方程式為\(\cases{x-2y+1=0\cr z=0}\)，在平面\(x-y=0\)上之投影方程式為\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}\)，則直線\(L\)之方程式為 。(請以對稱比例式表示)
[解答]
設 \( P(a,b,c) \) 為 \( L \) 一點，則 \( P \) 在 xy 平面的投影點為 \( (a,b,0) \)。
令 \( P \) 在平面 \( x=y \) 的投影點為 \( (a+t, b-t, c) \)
由 \(x=y \)，可得 \(\displaystyle t=\frac{b-a}2 \)，上行的投影點為 \(\displaystyle (\frac{a+b}2, \frac{a+b}2, c) \)
將兩投影點坐標分別代入所在直線之二面式，得
\( \begin{cases}
a-2b+1 & =0\\
\frac{a+b}{4} & =\frac{c-1}{3}
\end{cases} \)
可解得 \( a,b,c \) 的關係式
\( \frac{a+3}{8}=\frac{b+1}{4}=\frac{c+2}{9} \)
故直線 \( L \) 的方程式為 \(\displaystyle \frac{x+3}{8}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+2}{9} \)
