106華江高中

學校公佈版

\(x\in R\)，當\(\sqrt{x^4-15x^2-4x+68}-\sqrt{x^4-3x^2-2x+5}\)有最大值時，則\(x=\)　　　。

設A(2,8),B(1,2),P(x,x^2),P在y=x^2 圖形上游走
原式=PA-PB<=AB=\(\sqrt{37}\)=MAX
此時A,B,P三點共線=>(x-1)/1=(x^2-2)/6=>x=3-\(\sqrt{5}\) (取負的,若要最小值則取正的)

已知函數\(\displaystyle y=log_2(kx^2)+\frac{3x}{4}\)的圖形與函數\(\displaystyle y=2^{|\;x|\;}+\frac{3x}{4}\)的圖形交於\(A,B\)兩點，若\(\overline{AB}=10\)，則\(k=\)　　　。

又是抄襲，已經錯誤的命題，一再出現。

我曾經對南二中提出疑義，但該校數學科教學研究會認為無誤,堅持不送分。但我的博士班指導教授兼教務長認為，二交點A，B如果非對y軸對稱，就無法算出答案。其他非對稱的兩點A,B距離仍有可能距離為10。所以我建議有參加這次考試的考生，再次向該學校提出疑義,或許可送分。

14 題，作圖，可知 \( k=4096 \) 時，與題意中的已知交於 A, B 兩點矛盾

\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=3\)，\(∠A=2∠B\)，則\(\Delta ABC\)之內切圓半徑為　　　。
[解答]
做\(∠A\)之角平分線\(\overline{AD}\)交\(\overline{BC}\)於\(D\)，設\(\overline{BD}=5x,\overline{DC}=3x\)
由\(\Delta ABC \cong \Delta DAC\)，得\(\displaystyle \frac{3x}{3}=\frac{3}{8x}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{4}\)
\(\displaystyle cosA=\frac{5^2+3^2-(2\sqrt{6})^2}{2 \times 3 \times 5}=\frac{1}{3}\Rightarrow sinA=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
再由\(\displaystyle \Delta =\frac{1}{2}\times 3 \times 5 \times \frac{2\sqrt{2}}{3}=rs=r \times(4+\sqrt{6})\Rightarrow r=2\sqrt{2}-3\)，其中\(\displaystyle s=\frac{5+3+2\sqrt{6}}{2}\)

第1題
恰有兩個數字相同的三位數有　　　個。
[解答]
aab(加排列數) + aa0 or a0a +b00
\(
\displaystyle C_2^9  \times 2! \times \frac{{3!}}{{2!}} + C_1^9  \times 2 + 9 = 243
\)

第7題
華江熱食部餐點一共有水餃(只供應韭菜水餃)、便當(供應排骨、雞腿便當)，湯麵(供應肉羹麵、土魠魚羹麵、魷魚羹麵)三種類型，共有6種餐點。小明每天中午都在熱食部隨機選購1種餐點，而且每天選購的類型皆與前一天相異，例如：若小明周一選購湯麵類，則周二就從水餃類、便當類共三種餐點中隨機選購1種餐點。長期而言，小明選購排骨便當的機率為　　　。
[解答]
\(
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
\displaystyle   {\rm{0}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}}  \\
\displaystyle   {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} & {\rm{0}} & {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}}  \\
\displaystyle   {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} & {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}} & {\rm{0}}  \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   {1 - x - y}  \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   x  \\
   y  \\
   {1 - x - y}  \\
\end{array}} \right]
\)
\(
\displaystyle 得y = \frac{4}{{11}}，再乘機率\frac{1}{2}即為所求
\)

速算法應該如何表述呢？

第8題
設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點，若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點，\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦，\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\)，則\(\Delta PQF_1\)周長為　　　。

怪怪的，算出來跟答案不一樣

第9題
\(y=f'(x)\)如下圖，\(y=f'(x)\)在\(x=3\)時有極大值，在\(x=5\)時有極小值，三個封閉區域\(A、B、C\)面積分別為7、6、4，且\(f(0)=10\)，\(f'(7)=2\)，若\(g(x)=[f(x)]^2\)，則在\(y=g(x)\)上，以\((7,g(7))\)為切點的切線方程式為　　　。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 令切線為 y - [f(7)]^2  = g'(7)(x - 7) \\
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle g'(7) = 2f(7)f'(7) = 4f(7) \\
\displaystyle  \int\limits_0^7 {f'(x)dx = -7-6+4=-9,f(7) = 1}  \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)

第11題
假設\(1,2,3,4,\ldots,10^5\)這十萬個正整數中，各位數字和不大於10的正整數有\(n\)個，則\(n=\)　　　。
(例如：\(7,24,250,3211,12441,\ldots\)皆合乎題意)
[解答]
\(H_{10}^6 \) - 5 + 1(100000補上) - 1(扣掉0) = 2998


第12題
某班級一周有4節藝能課：包含2節體育課，1節音樂課，1節美術課，而排課原則如下：
(1)2節體育課不能排在同一天或相鄰的2天，
(2)1天中最多只有2節藝能課。
請問：此班級在這一周5個上課天這4節藝能課的排課分布情形一共有　　　種不同的方法﹒
(Ps：只考慮此4節藝能課從星期一到星期五的分布情形，不須考慮在每天的哪一節課。)
[解答]
(1)藝能課和體育課不能在同一天\(C_2^4  \times 3^2  = 54\)
(2)藝能課和體育課皆在同一天\(C_2^4  \times 2 = 12\)
(3)僅一節藝能課和體育課在同一天，另一節不能在同一天\(C_2^4  \times 2 \times 2 \times 3 = 72\)

第13題
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)、\(\vec{u}\)為空間中的四個向量。若已知\(\vec{a}\times \vec{b}=(-2,2,1)\)，\(\vec{a}\times \vec{c}=(2,1,2)\)且\(|\;\vec{a}|\;=6\)，\(\vec{u}=(1,-2,3)\)，求\(\vec{a}\)與\(\vec{u}\)所張出之平行四邊形面積為　　　。
[解答]
\(\displaystyle  \vec a \times \vec b 與  \vec a \times \vec c 外積後的向量平行 \vec a
\)

第14題
請教先進，題目敘述要怎麼修正才能符合呢？

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 13:59 編輯 ]

小弟算的答案跟官方公布的一樣

第8題
設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點，若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點，\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦，\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\)，則\(\Delta PQF_1\)周長為　　　。

\(
\displaystyle 由餘弦定理得知 {\rm{(4}}\sqrt {\rm{7}} )^2 = x^2 + (8 + x)^2 - 2x(8 + x)\cos 60^ \circ ,x = 4
\)
\(
\displaystyle 再由焦半徑性質得知 \frac{1}{4} +\frac{1}{y} = \frac{4}{{\frac{{2 \times 12}}{4}}},y=\frac{{12}}{5}
\)
\(
\displaystyle 三角形周長為16+2x+2y= \frac{{144}}{5}
\)
謝謝thepiano老師幫忙檢驗！小弟把算式補上！

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 14:14 編輯 ]

請教第9題的圖
是可以當作\(f'(3)=0\)及\(f'(6)=0\)嗎？還是根本沒有這些條件？