105中壢高中

177取1

第二間有完整試題
可以好好訂正了(泣)


4/24更正官網答案


105.4.26補充
美夢成真教甄論壇的討論
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=6060

1.
若數列\( \{\;a_n \}\; \)滿足\( a_1=1 \)，\( \sqrt{a_n}=2 \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n a_{n+1}} \)，\( n \in N \)，求數列\( \{\;a_n \}\; \)的一般項\(a_n=\)　　　。
[提示]
同除\( \sqrt{a_n a_{n+1}} \)得\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}=2\frac{1}{\sqrt{a_n}}+1 \)

2.
設[ ]表高斯符號，試解方程式\( 4x^2-20[x]+23=0 \)，\( x= \)　　　。

解\( 2x^2-11[x]+12=0 \)。(\([x]\)為小於等於\(x\)的最大整數)
(建中通訊解題第24期)

若\(x\)是實數，定義\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數，試求方程式\(2x^2-5[x]+1=0\)的解。
(建中通訊解題第52期)

http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37
在這裡可以查到這類問題是怎麼算的


6.
設[ ]表高斯函數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \Bigg]\;÷100 \)的餘數為　　　。
[提示]
http://artofproblemsolving.com/community/c4h234350


7.
\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\root n \of {1+3^{2n}}+\root n \of {3^{2n}+5^{2n}}+\root n \of {5^{2n}+7^{2n}}+\ldots+\root n \of {(2m-1)^{2n}+(2m+1)^{2n}}}{m^3} \right) \right) \)

\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1+\root n \of {1^n+2^n}+\root n \of {2^n+3^n}+\ldots+\root n \of {(m-1)^n+m^n}}{m^2} \right) \)
(高中數學101　第97單元　數列之極限)
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html)

想請問一下計算第二題，感謝~^^

數學科答案有更正
填充題第8題及計算題第2題

計算第2題
設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{7}+isin\frac{2\pi}{7}\)，則\((2-\omega)(2-\omega^3)(2-\omega^5)\)之值為？
[提示]
應該是題目出錯了，後來更正的答案很醜

以\(\omega ,{{\omega }^{3}},{{\omega }^{5}}\)為三根的方程式為\(\left( x-\omega  \right)\left( x-{{\omega }^{3}} \right)\left( x-{{\omega }^{5}} \right)=0\)
利用根與係數，最後 代2進去就能求出答案

請問老師，一、５該怎麼做？

第5題
雙曲線\(\Gamma\)：\(xy=1\)在第一象限中，一弦\(\overline{AB}\)以\(D(4,1)\)為中點，\(C\)點在\(\Gamma\)部分曲線\(AB\)上(即直線\(AB\)下方第一象限中的\(\Gamma\)曲線)，求\(C\)點到弦\(\overline{AB}\)距離的最大值為　　　。
[解答]
A和B是曲線\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)和直線\(y=m(x-4)+1\)的兩個交點
利用\(\displaystyle \frac{1}{x}=m(x-4)+1\)的兩根和\(=4\times 2=8\)，可求出\(\displaystyle m=-\frac{1}{4}\)
令\(\displaystyle C\left( t,\frac{1}{t} \right)\)，剩下的就是點到直線的距離，用算幾求最大值

補充，求出AB直線方程式之後，可以直接找斜率相同與直線AB的切線，切點就是C

請教老師，第2、8、10題可以提示一下嗎？
第2題感覺是要用橢圓可是不會算~
第8題 -2<x-[(x+1)/2]<2  知道(x-1)/2<[(x+1)/2]<=(x+1)/2，但接下來要怎求解呢?
第10題  畫完圖不會算@@
謝謝大家

用橢圓算的應該是第三題吧
3.
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為　　　。
[提示]
先做直線y=mx-3x上一點，到兩焦點距離和為10。
有兩個解，所以要選能與橢圓有兩交點的範圍

8.
設\([\; ]\;\)表高斯符號，\(|\;x|\;\)表絕對值符號，求不等式\(\displaystyle log_2 \Bigg\{\;log_2 \Bigg(\;\Bigg\vert\; x- \Bigg[\; \frac{x+1}{2}\Bigg]\; \Bigg\vert\; \Bigg)\; \Bigg\}\;<0\)的解為　　　。
[提示]
x+1<[(x+1)/2]<x+2 和x-2<[(x+1)/2]<x-1 為階梯函數在兩組直線之中的部分

10.
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\)，\(|\;z|\;=10\)，設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\)，求\(tan^2 \theta\)的最大值為　　　。
[提示]
有最大的tan^2 theta，發生在w 和w-z垂直的時候