104新竹中學

學校沒公佈考題

請教計算兩題:
1. 擲一骰子,隨機變數\(X\)表第一次出現5點所需次數, 求 (1) 期望值  (2)變異數

2. (1)求\( \displaystyle \lim_{x \to 0}x \left[ \frac{1}{x} \right] \)     (2)畫出\( \displaystyle x\left[\frac{1}{x}\right] \)的圖

第1題
這是幾何分配
\(\begin{align}
  & E\left( X \right)=\frac{1}{p} \\
& Var\left( X \right)=\frac{1-p}{{{p}^{2}}} \\
\end{align}\)
此題的\(p=\frac{1}{6}\)

第2題
(1)考慮以下，答案是1
\(\begin{align}
  & \frac{1}{x}-1<\left[ \frac{1}{x} \right]\le \frac{1}{x} \\
& x>0 \\
& 1-x<x\left[ \frac{1}{x} \right]\le 1 \\
& x<0 \\
& 1\le x\left[ \frac{1}{x} \right]<1-x \\
\end{align}\)

(2)光\(0<x<1\)，圖形就跳來跳去，能畫嗎？

提供兩題，若有錯誤請修正
1.\( S=\{1,2,3,4,5,6,7\} \)，試問\(S\)的子集中有幾組互斥的子集合(應該一組有兩個子集)
2.已知\( a^{\frac{1}{x}}b^{\frac{1}{x+3}}c^{\frac{1}{x+6}}=10\)有11,21,31三解，求\(\log{abc}\)

第2題
\(\begin{align}
  & {{a}^{\frac{1}{x}}}{{b}^{\frac{1}{x+3}}}{{c}^{\frac{1}{x+6}}}=10 \\
& \log \left( {{a}^{\frac{1}{x}}}{{b}^{\frac{1}{x+3}}}{{c}^{\frac{1}{x+6}}} \right)=\log 10 \\
& \log {{a}^{\frac{1}{x}}}+\log {{b}^{\frac{1}{x+3}}}+\log {{c}^{\frac{1}{x+6}}}=1 \\
& \frac{\log a}{x}+\frac{\log b}{x+3}+\frac{\log c}{x+6}=1 \\
\end{align}\)
令\(\log a=p,\log b=q,\log c=r\)
\(\begin{align}
  & \frac{p}{x}+\frac{q}{x+3}+\frac{r}{x+6}=1 \\
& p\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)+qx\left( x+6 \right)+rx\left( x+3 \right)=x\left( x+3 \right)\left( x+6 \right) \\
& {{x}^{3}}+\left[ 9-\left( p+q+r \right) \right]{{x}^{2}}+\left[ 18-\left( 9p+6q+3r \right) \right]x-18p=0 \\
\end{align}\)
由於11、21、31為上述方程的三個解
故
\(\begin{align}
  & 11+21+31=p+q+r-9 \\
& \log \left( abc \right)=p+q+r=72 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-5-20 04:01 PM 編輯 ]

兩平面方程\(E_1,E_2 \)，交直線\( L\)

證明平面族方程式：\( E_1 + t E_2 = 0\)

(題目有些忘了，但大概是這樣)(當時題目可能是出成\( s E_1 + t E_2 = 0 \)，這樣才可表示\(E_2\))

我想出一個證法，但滿複雜的，不知是否有人可分享證法~~

謝謝

下面大概寫一下我的證明要點
(若\( E \)包含\( L \)且\(E\)不是\(E_1\),\(E_2\)，我的證法是取\(E\)上的點\(A\)且\(A\)不在\(L\)上看\(A\)到\(E_1\)與\(E_2\)的距離，這兩距離的比值為定值)

但~這個式子少了一個平面 \( E_2 \)，這樣命題有瑕疵...

h ttp://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=53709　連結已失效
可參考

我知道了！謝謝。