97陽明高中

請教填充第11題，感謝。

答案：(P+1)/2

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-20 08:38 PM 編輯 ]

填 11.
\( \begin{vmatrix}a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+b & b\\
c+d & d
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & b+d\\
c+d & d
\end{vmatrix}=-(d+b)(d+c) \)

同理 \( \begin{vmatrix}a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=-(a+b)(a+c) \) \( \Rightarrow p=(a+b)(a+c)=(d+b)(d+c) \)

故 \( a+b \geq a+c \geq b+d \geq c+d \)，且四數均為質數 \( p \) 之因數

分析可得此四數必相異(這步請自己驗一驗) 依序為 \( p,1,-1,-p \)、\( a,b,c,d \) 也相異

\( 1 - (-1) = a+c - (b+d) = a-b + c-d \geq 2 \) 等號需成立，故 \( a-b =c-d =1 \Rightarrow a = \frac{p+1}{2} \)

第 11 題
p = bc - ad = bc - a(-a - b - c) = (a + b)(a + c)
由於 a + b ≧ a + c
故 a + b = p，a + c = 1

b = p - a，c = 1 - a，d = -(a + b + c) = -(p + 1 - a) = a - p - 1

a ≧ b = p - a
p ≦ 2a

c ≧ d
1- a ≧ a - p - 1
p ≧ 2a - 2

p = 2a - 1
a = (p + 1)/2

了解，感謝。