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97南二中

satsuki931000

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1^# 大中小發表於 2021-1-22 12:15 只看該作者

97南二中

先感謝信哥提供了10幾年前的題目
讓版上的後生有機會能練習到這些題目

由於這份沒看到相關的討論串因此自開一串
之後版上沒討論串沒答案的小弟會盡自己所能把答案算出附上
再請各位先進指教

另外想請問這份的計算1 2
1. 5553
2. (1) 635

30 (2)35

306

1081 (超醜...不知道是不是算錯)
3.12
4.80
5.

212

32

3−21

6.2

2
7.ABD
8.8

+40tan−12
9.x+3y=6
10.m=

34

32

5
11.−1

m

1
12.21
13.10

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97南二中.rar (159.81 KB): 2021-1-22 12:15, 下載次數: 5529

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2^# 大中小發表於 2021-1-22 12:31 只看該作者

計算3

Fn

為費氏數列，即F1=F2=1且Fn+2=Fn+1+Fn在n

N均成立，令

n=F2nF2n−1。
(1)證明

n+1=2−11+

n
(2)證明

n

為遞增數列
(3)證明

n收斂
(4)求

n

之極限
[解答]
(1)考慮F2n+2=F2n+1+F2n

n+1=1+F2nF2n+1=2−(1−F2nF2n+1)

n+1=2−(F2n+1F2n+1−F2n)=2−(F2n+1F2n−1) =2−1F2n−1F2n+1=2−1F2n−1F2n+F2n−1 =2−11+

n

(2)

1=1

2=23

3=58
設n=k時，

k+1

k
當n=k+1時，

k+2=2−11+

k+1

2−11+

k=

k+1
根據數學歸納法

n遞增

(3)

1=1

2

2=23

2

3=58

2
設n=1

2

k

n

2皆成立
此時可知

k+1=2−11+

k

2−31=35

2
當n=k+1時

k+2=2−11+

k+1

2−31=35

2
根據數學歸納法
\displaystyle {\lambda_{n}} 有界

(4)因為\displaystyle {\lambda_{n}} 遞增且有界，所以收斂，令其收斂值為\alpha
可得 \displaystyle \alpha=2-(\frac{1}{1+\alpha})
解得\displaystyle \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

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tsusy

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3^# 大中小發表於 2021-1-22 13:07 只看該作者

回復 1# satsuki931000 的帖子

我算，不同的地方
7. ABD
AB 都是因為重根，應該兩個選項皆正確
8. 8\pi + 40\tan^{-1}2
9. x+3y = 0 是符合題意的一條直線，但符合的直線卻有無線多條 (筆誤應為 x+3y =6 )
10. \displaystyle m=\pm\frac{4}{3}, \pm\frac{2\sqrt{5}}{3}
兩個切線、兩個和漸近線平行
13. 10
樣本標準差，分母是 n-1

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4^# 大中小發表於 2021-1-22 13:16 只看該作者

回復 1# satsuki931000 的帖子

計算2.
設自然數A=11\ldots122\ldots25，由n個1，(n+1)個2，以及1個5所組成。試證明A是一個完全平方數。
[解答]
我們將證明： A=(33\ldots35)^{2} ，由 n 個 3, 1 個 5 組成。

令 m=n+1

\displaystyle (\frac{10^{m}-1}{3}+2)^{2}=\frac{10^{2m}-2\cdot10^{m}+1}{9}+4\cdot\frac{10^{m}-1}{3}+4

\displaystyle =\frac{10^{2m}+10^{m+1}-11}{9}+4=\frac{10^{2m}-1}{9}+\frac{10^{m+1}-1}{9}+3

其中 \displaystyle \frac{10^{2m}-1}{9} = \frac{99\cdots9}{9}=11\cdots1 ，由 2m 個 1 組成。
\displaystyle \frac{10^{m+1}-1}{9} = \frac{99\cdots9}{9}=11\cdots1 ，由 m+1 個 1 組成。

故 \displaystyle (33\ldots35)^{2} = (\frac{10^{m}-1}{3}+2)^{2} = A

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5^# 大中小發表於 2021-1-22 14:00 只看該作者

回復 3# tsusy 的帖子

謝謝寸斯老師的指教
以下有幾個問題想再次請教
7，10小弟明白了
8.是否能詳細講一下過程
9.所以答案這題應該要怎麼寫才好，另外x+3y=0看起來並不會平分面積
13.如何知道這題是要求樣本而非母體標準差

8的部分小弟是考慮
(1)\displaystyle (2x+y)(2x-y)\leq 0 , x^2+y^2\geq 28
(2)\displaystyle (2x+y)(2x-y)\geq 0 , x^2+y^2\leq 28
當然自然限制為\displaystyle x^2+y^2 \leq 36
這樣的圖形是否有誤

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6^# 大中小發表於 2021-1-22 21:19 只看該作者

回復 5# satsuki931000 的帖子

8.
設座標平面上，不等式2^{x+2y}\times\{\;log_{\frac{1}{2}}(-x^2-y^2+36)+3\}\;\times(4x^2-y^2)\le 0所表區域為S，求S之面積？
[解答]
我也是同樣的分類，寫一下式子
(2x+y)(2x-y) =0 的圖形為兩直線交於原點，將平方分割成上、下、左、右四個區域
其中左右區域對應的不等式為 4x^{2}-y^{2} >0 ，上下區域對應的不等式為 4x^{2}-y^{2} <0

左右的面積 \frac{1}{2}\cdot 28 \cdot (4\tan^{-1}2)
上下的面積 \frac{1}{2}\cdot(36-28)(2\pi-4\tan^{-1}2)
總面積 8\pi+40\tan^{-1}2
寫成 arcsin 的樣子的話是 28\pi-20\sin^{-1}\frac{4}{5}

9. 我筆誤，應為 x+3y =6 。我是認為出題者沒有考慮周全，造成不唯一解，但除了這條線以外，其它條直線大概都寫不出個好看的樣子。

13. 有 A、B 兩校分別"抽樣" 20 人及 30 人...
關鍵字是抽樣

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7^# 大中小發表於 2021-1-22 21:30 只看該作者

回復 1# satsuki931000 的帖子

計算1.
親親食品公司所生產的水餃，每顆重量算術平均數為40克，標準差為2克。每100顆水餃裝一包販售，每包重量規格標示為4000克±40克。隨機抽查檢驗該公司市面上販售的水餃，檢查到低於規格下界之機率
[解答]
利用中央極限估計之，
100顆總重的標準差為 \sqrt{100}\cdot2=20

4000 - 40 = 4000 - 2\cdot 20

故所求機率約為\displaystyle \frac{1-0.9544}{2}=0.0228

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8^# 大中小發表於 2021-1-23 00:24 只看該作者

回復 6# tsusy 的帖子

謝謝寸斯老師的指教

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