引用:
原帖由 yensheng0122 於 2009-4-27 08:01 PM 發表 
謝謝各位這麼熱心的回答
小弟受教了
尚有一題要請教
一個圓內接四邊形ABCD, AB與CD的延長線交於P點, AD與CB的延長線交於Q點,圓心為O, 已知圓半徑 為r , OP=m, OQ=n , 試求 PQ（用r, m,n表示）
記錄一下試題出處及解答：
(小地方重新修飾過，並補上一張附圖)
解答：
由圓冪定理，可得
\(\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PC} \cdot \overline{PD}\) 且 \(\overline{QA}\cdot \overline{QD}=\overline{QB}\cdot \overline{QC}\)
作直線 \(\overleftrightarrow{PO}\) 和圓交於 \(M, N\)，
使得 \(\overline{PM}=\overline{PO}-\overline{OM}=a-r\)， \(\overline{PN}=\overline{PO}+\overline{ON}=a+r\)，則
\[\overline{PM} \cdot \overline{PN}=\left(a-r\right)\left(a+r\right)=a^2-r^2=\overline{PA} \cdot \overline{PB}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}.\]
同理，
\[\overline{QA}\cdot \overline{QD}=\overline{QB}\cdot \overline{QC}=b^2-r^2.\]
作\(\triangle QCD\) 的外接圓，使之與 \(\overline{PQ}\) 交於點 \(K\)，則
\[\overline{PK}\cdot \overline{PQ}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}\, .................\, (1)\]
由於 \( \angle DKQ=\angle DCB \Rightarrow \angle DKP=180^\circ - \angle DKQ = 180^\circ - \angle DCB=\angle DAP \)
所以，\(K, D, A, P\) 四點共圓，因而
\[\overline{QK} \cdot \overline{QP}=\overline{QA}\cdot \overline{QD}\, .................\, (2)\]
由 (1)+(2)，可得
\[\overline{PQ}\cdot \left(\overline{PK}+\overline{QK}\right)=\overline{PC}\cdot \overline{PD}+\overline{QA}\cdot \overline{QD}\]
\[\Rightarrow \overline{PQ}^2=a^2-r^2+b^2-r^2\]
\[\Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{a^2+b^2-2r^2}\]
此解答出處：連結已失效h ttp://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1609042508270
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此解答作者的網誌：連結已失效h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/ 老王的夢田
題目出處：2009 政大附中教師甄試
